Dirichlet Beta 函数初探

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Dirichlet Beta 函数定义如下：

\beta(s)=\sum_{k\ge 0}\dfrac{(-1)^k}{(2k+1)^s}

我们熟知的级数 1-\frac 13+\frac 15-\frac 17+... 便可以用 \beta(1) 表示，等于 \frac \pi 4。并且它与 Riemann Zeta 函数有着极强的联系。

在「从傅里叶展开看黎曼 ζ 函数取值」一文中，我们讨论了 x^{2n} 的傅里叶展开式，并推出了 \zeta(2n) 的表达式。借助文中的部分成果，我们可以继续探讨 x^{2n-1} 的展开式，并得到 \beta(2n+1) 的表达式。以下是会用到的一些定义、结论：

x^n=\sum a_{n,k}e^{kxi} a_{2n,k}=\sum_{t=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k^{2t}}\dfrac{(2n)!}{(2n-2t+1)!}(-1)^{t+1}\pi^{2n-2t}

将第二条式子代到第一条式子中，可以得到：

x^{2n}=\sum_{k\in \mathbb Z}e^{kxi}\sum_{t=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k^{2t}}\dfrac{(2n)!}{(2n-2t+1)!}(-1)^{t+1}\pi^{2n-2t}

两边对 x 求导：

2nx^{2n-1}=\sum_{k\in \mathbb Z}kie^{kxi}\sum_{t=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k^{2t}}\dfrac{(2n)!}{(2n-2t+1)!}(-1)^{t+1}\pi^{2n-2t}

代入 x=\frac \pi 2 并对右式取实部，整理得：

\Big(2^{2n-1}(2n-1)!\Big)^{-1}=\sum_{k\in \mathbb Z}\sin\Big(\frac \pi 2k\Big)\sum_{t=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k^{2t-1}}\dfrac{(-1)^t\pi^{1-2t}}{(2n-2t+1)!}

因为 [\sin(\frac \pi2k)\neq0]=[2\nmid k]，故用 2k+1 来代替 k：

\Big(2^{2n-1}(2n-1)!\Big)^{-1}=\sum_{k\in \mathbb Z}\sin\Big(\frac \pi 2(2k+1)\Big)\sum_{t=1}^n\dfrac{(-1)^{2k+1}}{(2k+1)^{2t-1}}\dfrac{(-1)^t\pi^{1-2t}}{(2n-2t+1)!}

由 \sin(\frac \pi 2(2k+1))=(-1)^k 化简得：

\Big(2^{2n-1}(2n-1)!\Big)^{-1}=\sum_{t=1}^n\dfrac{(-1)^{t+1}\pi^{1-2t}}{(2n-2t+1)!}\sum_{k\in \mathbb Z}\dfrac{(-1)^k}{(2k+1)^{2t-1}}

因为和式里的 k\in\mathbb Z，但 \beta(s) 定义中的 k\ge 0。故这里不能直接把内层求和用 \beta(2t-1) 代换，分类讨论知内层求和的值应该是 2\beta(2t-1)。即：

\Big(2^{2n-1}(2n-1)!\Big)^{-1}=2\sum_{t=1}^n\dfrac{(-1)^{t+1}\pi^{1-2t}}{(2n-2t+1)!}\beta(2t-1)

因为这里讨论的是 \beta(s) 函数在正奇数处的取值，为了方便卷积，先定义 \beta(-1)=0，不影响结论。因为：

[x^n]\Big(\dfrac{\sqrt x}2(e^{\frac 12{\sqrt x}}-e^{-\frac 12{\sqrt x}})\Big)=\Big(2^{2n-1}(2n-1)!\Big)^{-1} [x^n]\frac{e^{\sqrt x}-e^{-\sqrt x}}{2\sqrt x}=\dfrac 1{(2n+1)!}

故：

\begin{aligned} 2(-1)^{n+1}\pi^{1-2n}\beta(2n-1)&=[x^n]\dfrac{\frac{\sqrt x}2(e^{\frac 12{\sqrt x}}-e^{-\frac 12{\sqrt x}})}{\frac{e^{\sqrt x}-e^{-\sqrt x}}{2\sqrt x}}\\ &=[x^{n}]\dfrac x{e^{\frac 12{\sqrt x}}+e^{-\frac 12{\sqrt x}}}\\ &=4^{-n}[x^{2n}]\dfrac {4x^2}{e^{x}+e^{-x}}\\ \end{aligned}

根据欧拉数 E_n 的定义：E_n=[\frac {x^n}{n!}]\frac 2{e^x+e^{-x}}，可以得到：

(-1)^{n+1}\pi^{1-2n}\beta(2n-1)=4^{-n}\dfrac{E_{2n-2}}{(2n-2)!}

整理即得：

\beta(2n+1)=\dfrac{(-1)^nE_{2n}\pi^{2n+1}}{4^{n+1}(2n)!}

顺带一提，之前那篇文章推导出的 \zeta(2n) 表达式和常见的形式不一样。一开始没想到怎么证明两种形式等价，最近用生成函数给证出来了，就是下面这个：

\zeta(2n)=\dfrac{(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}\pi^{2n}}{(2n)!}

借用 \zeta,\beta 函数取值的结论，我们可以推出如下两条：

\sum_{n\ge 1}\zeta(2n)x^{2n}=\frac 12(1-\pi x\cot \pi x) \sum_{n\ge 1}\beta(2n-1)x^{2n-1}=\frac \pi 4 x\sec\frac \pi2x

根据这两个结论，又有以下推论：

\sum_{n\ge 1}(\zeta(2n)-\beta(2n-1))=\lim_{x\rightarrow 1^-}\Big(\frac {1-\pi x\cot \pi x}2-\frac \pi 4 x^2\sec\frac \pi2x\Big)=1 \sum_{n\ge 1}(\zeta(2n)-1)=\lim_{x\rightarrow 1^-}\Big(\frac {1-\pi x\cot \pi x}2-\frac{x^2}{1-x^2}\Big)=\frac 34 \sum_{n\ge 1}(1-\beta(2n-1))=\lim_{x\rightarrow 1^-}\Big(\frac x{1-x^2}-\frac \pi 4 x\sec\frac \pi2x\Big)=\frac 14

还有用单位根反演得到的推论，这里丢个链接：你绝对从未见过的有关 Dirichlet beta 函数的一堆可爱级数。

Dirichlet Beta 函数可以用 DGF（即 L 函数）来表示，我们设：

\psi(n)=\begin{cases}0&2\mid n\\(-1)^{\frac {n-1}2}&2\nmid n\end{cases}

易验证 \psi(n) 是完全积性函数，且 \psi(n) 的 DGF 就是 Dirichlet Beta 函数。

根据广义的欧拉乘积公式：

\tilde \psi(n)=\prod_{p\ge 3}\dfrac{1}{1-\psi(p)p^{-n}}

所以 \beta(s) 的质数连乘形式为：

\beta(s)=\prod_{p\ge 3}\dfrac{1}{1-(-1)^{\frac {p-1}2}p^{-s}}

来看另外一个函数，设 \phi(n) 是一个积性函数，且 \mu(n)=0\iff\phi(n)=0，质数 p 处的取值为：

\phi(p)=\begin{cases}0&p=2\\(-1)^{\frac {p-1}2}&p\ge 3\end{cases}

同样可得它的 DGF 为：

\tilde \phi(s)=\prod_{p\ge 3}(1+(-1)^{\frac {p-1}2}p^{-s})

接下来的关键是：

\begin{aligned} \frac{\tilde\phi(s)}{\beta(s)}&=\prod_{p\ge 3}(1+(-1)^{\frac {p-1}2}p^{-s})(1-(-1)^{\frac {p-1}2}p^{-s})\\ &=\prod_{p\ge 3}(1-p^{-2s})=\dfrac{1}{(1-4^{-s})\zeta(2s)} \end{aligned}

因此 \tilde\phi(s)=\dfrac{\beta(s)}{(1-4^{-s})\zeta(2s)}，当 s=1 时，可以得到：

\dfrac 2\pi=\prod_{p\ge 3}\Big(1+\frac{(-1)^{\frac {p-1}2}}p\Big)

事实上，正是这个等式才让我想去探究 Dirichlet Beta 函数。

而 \tilde\phi(s) 存在另一个表达形式：

\tilde\phi(s)=\sum_{k\ge 0}\dfrac{(-1)^k\mu^2(2k+1)}{(2k+1)^s}

因此，我们可以说：

将级数 1-\frac 13+\frac 15-\frac 17+... 中分母的 \mu 值为 0 的项丢掉，剩余项的和为 \frac 2\pi。

当 s=3 时，有：

\prod_{p\ge 3}\Big(1+\frac{(-1)^{\frac {p-1}2}}{p^3}\Big)=\sum_{k\ge 0}\dfrac{(-1)^k\mu^2(2k+1)}{(2k+1)^3}=\dfrac{30}{\pi^3}

因为 s=2 时 \beta(s) 没法用已知常数表示，于是令 G=\beta(2)\approx 0.916，称之为卡特兰常数，同理：

\prod_{p\ge 3}\Big(1+\frac{(-1)^{\frac {p-1}2}}{p^2}\Big)=\sum_{k\ge0}\dfrac{(-1)^k\mu^2(2k+1)}{(2k+1)^2}=\dfrac{96G}{\pi^4}