高中数学笔记-2-函数的基本性质
第二课 函数的基本性质
1. 单调性
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定义
一般地，设函数
f(x) 的定义域为I ，区间D\subseteq I ：如果
\forall x_1,x_2 \in D ，当x_1<x_2 时，都有f(x_1)<f(x_2) ，那么称函数f(x) 在区间D 上单调递增。当f(x) 在它的定义域上单调递增时，称它为增函数。如果
\forall x_1,x_2 \in D ，当x_1<x_2 时，都有f(x_1)>f(x_2) ，那么称函数f(x) 在区间D 上单调递减。当f(x) 在它的定义域上单调递增时，称它为减函数。 -
要点
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单调区间书写时，不能用
\cup ，要写“, ”或“和”。 -
不连续区间不是单调的。（例：
y=-\dfrac{1}{x} ） -
有关单调性，注意定义域。
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利用定义判断单调性
例题：判断
f(x)=\dfrac{3^x-1}{3^x+1} 在\R 上的单调性并证明。\forall x_1,x_2\in\R$ 且 $x_1<x_2 \begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=\dfrac{3^{x_1}-1}{3^{x_1}+1}-\dfrac{3^{x_2}-1}{3^{x_2}+1}\\&=\dfrac{2(3^{x_1}-3^{x_2})}{(3^{x_1}+1)(3^{x_2}+1)}\end{aligned} x_1<x_2\Rightarrow3^{x_1}<3^{x_2}\Rightarrow3^{x_1}-3^{x_2}<0,3^{x_1}+1>0,3^{x_2}+1>0 \therefore f(x_1)<f(x_2) -
利用单调性解不等式
单调性，函数值关系，自变量关系可以知二推二。
例题：已知
f(x) 的定义域为\R ，对任意的x_1<x_2 ，都有f(x_1)-f(x_2)>2x_1-2x_2 ，f(4)=4 ，则f(x-1)>2x-6 的解集为（ ）变形：
f(x_1)-2x_1>f(x_2)-2x_2 构造：
g(x)=f(x)-2x ，g(4)=f(4)-8=-4 可得
g(x) 在\R 上单调递减f(x-1)>2x-6 f(x-1)-2(x-1)>-4 g(x-1)>g(4) x-1>4 x\in(-\infty,5) -
复合函数单调性
y=f(t) t=g(x) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 口诀：同增异减
例题：求
f(x)=\dfrac{1}{8-2x-x^2} 的单调区间。复合函数：
y=\dfrac{1}{t} （外）t=8-2x-x^2 （内）定义域：
x\in(-\infty,-4)\cup(-4,2)\cup(2,+\infty) 画内函数图象：开口向下，对称轴
x=-1 递减区间：
(-1,2),(2,+\infty) 递增区间：
(-\infty,4),(-4,-1] -
单调性运算
增
+ 增= 增减
+ 减= 减$-$ 减 $=$ 增 减 $-$ 增 $=$ 减 增 $-$ 减 $=$ 增 -
分段函数单调性
注意区间端点处函数值大小比较！
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抽象函数单调性
根据已知条件分解并代入
例题：已知定义在
\R 上的函数y=f(x) 满足：对于\forall x,y\in\R 有f(x+y)=f(x)+f(y) ，当x<0 时f(x)>0 ，且f(1)=-3 。-
判断单调性
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解不等式
f(2x-2)-f(x)\geq-12
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判断单调性
\forall x_1,x_2\in\R$ 且 $x_1<x_2$，当 $x<0$ 时，$f(x)<0\Rightarrow x_1-x_2<0,f(x_1-x_2)>0 \begin{aligned}f(x_1)-f(x_2)&=f(x_1-x_2+x_2)-f(x_2)\\&=f(x_1-x_2)+f(x_2)-f(x_2)\\&=f(x_1-x_2)>0\end{aligned} \therefore f(x_1)>f(x_2) -
解不等式
f(2x-2)-f(x)\geq-12 f(2x-2)-f(x)\geq f(4) f(2x-2)\geq f(x)+f(4) f(2x-2)\geq f(x+4) 又
f(x) 在\R 单调递减\therefore 2x-2\leq x+4 \therefore x\leq 6
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2. 奇偶性
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定义
一般的，设函数
f(x) 的定义域为I ，如果\forall x\in I ，都有-x\in I ，且f(-x)=f(x) ，那么函数f(x) 就叫做偶函数。一般的，设函数
f(x) 的定义域为I ，如果\forall x\in I ，都有-x\in I ，且f(-x)=-f(x) ，那么函数f(x) 就叫做奇函数。既不是寄函数也不是偶函数的函数一般称作非奇非偶函数。
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判断函数的奇偶性
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先判断定义域是否关于原点对称，若不是，为非奇非偶函数。
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再判断
f(-x) 与f(x) 的关系：若
f(-x)=f(x) ，则为偶函数，其图像关于y 轴对称。若
f(-x)=-f(x) ，则为奇函数，其图像关于原点对称。常见：
f(-x)+f(x)=0 奇函数。 -
例题1：下列判断正确的是？
A.
f(x)=0 既是奇函数又是偶函数B.
f(x)=x\sqrt{x^2-1} 是非奇非偶函数C.
f(x)=(1+x)\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} 是偶函数D.
f(x)=\dfrac{1}{2^x-1}+\dfrac{1}{2} 是奇函数A.
f(x)=0 是唯一的既奇又偶函数B.
f(x)=x\sqrt{x^2-1} 是奇函数，原因：x\in(-\infty,-1]\cup [1,+\infty) 且f(-x)=-x\cdot\sqrt{x^2-1}=-f(x) C.
f(x)=(1+x)\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} 是非奇非偶函数\dfrac{1-x}{1+x}\geq0 ，原因：x\in(-1,1] ，不对称D. 正确，定义域：
x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty) ，计算可得f(x)+f(-x)=0 例题2：判断
f(x)-f(-x) 的奇偶性令
g(x)=f(x)-f(-x) 进行判断，结果是奇函数 -
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奇偶性的运算
奇
+ 奇= 奇偶
+ 偶= 偶奇
\times 奇= 奇偶
\times 偶= 偶奇
\times 偶= 奇 -
复合函数奇偶性
y=f(t) t=g(x) y=f(g(x)) 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 偶 偶 偶 偶 口诀：有偶就是偶
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抽象函数奇偶性
赋值法，已知奇偶性时解方程求解析式
例题1：
f(x+y)=f(x)+f(y) ，判断奇偶性令
y=-x ，f(0)=f(x)+f(-x) 令
x=y=0 ，f(0)=2f(0) ，f(0)=0 所以
f(x)+f(-x)=0 ，奇函数例题2：对于非零的
x ，f(xy)=f(x)+f(y) ，判断奇偶性x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty) 令
y=-1 ，f(-x)=f(x)+f(-1) 令
x=y=-1 ，f(1)=2f(-1) 令
x=y=1 ，f(1)=2f(1) ，f(1)=0 于是
f(-1)=0 ，f(-x)=f(x) 偶函数
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分段函数奇偶性
利用奇偶函数的定义代入求解，注意
x=0 情况
3. 周期性
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定义
对于函数
f(x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x) ，那么就称f(x) 为周期函数，非零常数T ，就是这个函数的周期。最小正周期：如果周期函数
f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个正数就是f(x) 的最小正周期，若不说明，T 一般指最小正周期。（常数函数没有最小正周期） -
常用结论
若
f(x+a)=f(x-a) ，则周期T=2a 若
f(x+a)=-f(x) ，则周期T=2a 若
f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)} ，则周期T=2a 若
f(x+a)=-\dfrac{1}{f(x)} ，则周期T=2a -
利用周期性求值或解析式
通过周期性把较远或未知的函数转换为较近或已知的
例题：
f(x) 是定义在\R 上的奇函数，且f(x+8)=f(x) ，当x\in[-2,0) 时，f(x)=x^2-2x-1 ，则f(242)= ？利用周期性：
f(242)=f(2) 利用奇偶性：
f(2)=f(-2)=-7
4. 对称性
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常用结论
$f(a+x)+f(a-x)=0\Rightarrow$ 关于 $(a,0)$ 对称（自变量和为 $2a$ 即可） $f(a+x)=f(b-x)\Rightarrow$ 关于 $x=\dfrac{a+b}{2}$ 对称 $f(a+x)+f(a-x)=2b\Rightarrow$ 关于 $(a,b)$ 对称，即 $f(x+a)-b$ 为奇函数 $f(x+a)$ 是偶函数 $\Rightarrow$ 关于 $x=a$ 对称 $f(x+a)$ 是奇函数 $\Rightarrow$ 关于 $(a,0)$ 对称 $f(ax+b)$ 是偶函数 $\Rightarrow$ 关于 $x=b$ 对称 $f(ax+b)$ 是奇函数 $\Rightarrow$ 关于 $(b,0)$ 对称
5. 周期性与对称性
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常用结论
f(x)$ 关于 $x=a$ 和 $x=b$ 对称 $\Rightarrow$ $T=2|a-b| f(x)$ 关于 $(a,0)$ 和 $(b,0)$ 对称 $\Rightarrow$ $T=2|a-b| f(x)$ 关于 $x=a$ 和 $(b,0)$ 对称 $\Rightarrow$ $T=4|a-b|