环论（一）
rfsfreffr
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个人记录
5.1 基本概念
我们在此只讨论含幺环的情况。
定义 5.1.1: （含幺）环是一组资料 (R,+,\cdot), 其中
$(2).$ $(R,\cdot)$ 是幺半群，二元运算被表示为 $(a,b) \to a \cdot b$，乘法幺元记为 $1$.
$(3).$ 两种运算之间满足分配律:
\forall (a,b,c) \in R^3 , a(b+c) = ab +ac, (a+b)c=ac+bc
特别的对于 a \in R, 其加法逆元记为 -a.
命题 5.1.2(环的基本性质): 设 (R,+,\cdot) 是一个环，那么 \forall a \in R , 有:
(1).$ $a \cdot 0 = 0 \cdot a =0
(2).$ $(-1)a=a(-1) =-a
证明:
我们先证明 (2). 我们由 :
(-1)a+a=(-1+1)a=0
得到 (-1)a=-a, 即其是 a 的加法逆元。
那么对于 (1):
a\cdot 0 = a \cdot (a + (-a)) = a \cdot a + a \cdot a \cdot (-1)=a \cdot a + (- a \cdot a )=0
对于 (3), 我们假设还存在一个元素 x \neq 0, 那么 :
x \cdot 1= x, x \cdot 0 =0
由于 1=0, 自然得到 x=0, 矛盾。
这种环称为零环, 若没有特殊说明，我们讨论的环都是非零含幺环。
记号 5.1.3: 记 R^\times 为所有对于 (R,\cdot) 可逆的元素集合，对于 a \in R^\times 我们记其乘法逆元为 a^{-1}.
定义 5.1.4: 设 (R,+,\cdot) 为环，定义其相反环 R^{op}=(R,+ , \circ), 其二元运算 \circ 依赖于 \cdot 给出 :
a \circ b = b \cdot a , a,b \in R
定义 5.1.5(环同态): 设 R,S 为环，映射 \varphi : R \to S 是一个环同态，如果 :
(1).$ $\varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)
(2).$ $\varphi(ab) = \varphi(a) \varphi(b)
(3).$ $\varphi(1_R) = 1_S
进一步可定义环同构，自同态，自同构等概念，均与群的情形类似。
定义 5.1.6(子环): 设 (R,+,\cdot) 是环，若子集 S \subseteq R 对于运算 (+,\cdot) 也成为环，则称 S 是 R 的子环。
我们加下来讨论环的商，类似对群处理的手法中的思路，我们设 \sim 是 R 上的一个等价关系，我们定义商同态:
\pi : R \to R / \sim
r \to [r]
关键在于 I:= \ker (\pi) 需要满足怎样的条件，回忆 4.2.8 中的讨论，我们需要使得对于所有 r,r',s,s'\in R:
(r \sim r') \Leftrightarrow (r - r' \sim 0) \Leftrightarrow (r-r' \in I)
(r \sim r') \wedge (s \sim s') \Leftrightarrow (rs \sim r's') \Leftrightarrow (rs - r's' \in I)
在第二条中分别考虑 r=r' 和 s=s' 的特殊情况，则得到 :
(s-s' \in I )\Leftrightarrow (\forall r \in R, r(s-s') \in I)
(r-r' \in I) \Leftrightarrow (\forall s' \in R, (r-r')s' \in I)
注意到 :
rs-r's'=r(s-s') + (r-r')s'
也就是说只要 I 对加法运算封闭且对乘法吸收，就可以把两个部分的等价都给出来了。
提炼我们讨论的结果，我们就得到了一个可以做商的子环的定义：
定义 5.1.7(理想): 设 R 是环，I \subseteq R 是加法子群。
$(2).$ $I$ 是 $R$ 的**右理想**，如果 $\forall r \in R, Ir \subseteq I$.
$(3).$ $I$ 是 $R$ 的**双边理想**，如果其既是左理想又是右理想。
满足 $I \neq R$ 的左，右或双边理想称为真理想。交换环的左，右理想不分，简称为理想。
对于理想我们有一下基本的讨论:
- 设 I_1,I_2 是 R 的左理想，右理想或双边理想，则 I_1+I_2 和 I_1 \cap I_2 亦然(由定义显然可得)。
由此我们定义任意一族理想的和:
\sum_{t \in T} I_t = r_{t_1} +r_{t_2} +...+r_{t_n}
其中 n \in \Z_{\ge 1}, t_1,...,t_n \in T, 且 \forall 1 \le j \le n, r_{t_j} \in I_{t_j}.
-
设 I 为双边理想，S 为子环，则 S+I 也是子环。(由于加法是交换群，这也是显然的)
-
对于任意子集 S \subseteq R, 那么定义 S 生成的理想为 \bigcap_{S \subseteq I} I.
-
设 S 为子环，I 为 R 中的左理想，右理想或双边理想或子环，那么 S \cap I 在 S 中亦然。
-
定义双边理想 I,J 的积 IJ 为子集 \{ xy : x\in I, y \in J\} 生成的理想。
生成理想的方式无非就是不断左乘和右乘 R 中的元素去扩大，且需要对加法运算封闭，而 I 和 J 本身又是双边理想。由此可以注意到 IJ 中的元素均可表示为这些 xy 的和。
IJ \subseteq I \cap J \subseteq I+J
(\sum_{t \in T}I_t) J = \sum_{t\in T}(I_t J), J (\sum_{t \in T} I_T) = \sum_{t \in T} (JI_t)
I(JK)= (IJ)K
后俩条由结合律和分配律易得。对于第一条细观理想的定义也可以得到。（需要注意加法的交换律）
定义 5.1.8: 设 I 为 R 的理想，赋予集合 R / I 运算如下 :
(r+I) \cdot (s+I):= (rs +I), \quad r,s \in R
(r+I) + (s+I) := (r+s) + I , \quad r,s \in R
则 R/I 构成一个环，称为 R 模 I 的商环，自然由商映射 R \to R /I 是环同态，这个取商的操作有时候也被视为 \mod I.
而乘法幺元则为 1_R + I, 加法幺元则为 I. 且 R/ I 也仍然是交换环。
至于商环对于环公理的验证，可以自己展开试一下，一切都归于 R 本身的性质。
对于商环我们也有类似商群的命题存在。
命题 5.1.9: 设 I \subseteq R 为双边理想，则对任意的环同态 \varphi : R \to R', 且满足 \varphi(I)=0， 存在唯一的环同态 \bar \varphi : R / I \to R' 使得下图交换。
\begin{matrix}
R &\xrightarrow{\varphi} R'\\
\downarrow^{\alpha} & \nearrow_{\exist !\bar \varphi} \\
R / I
\end{matrix}
命题 5.1.10: 设有环同态 \varphi : R \to R', 类似的定义 \ker(\varphi) :=\varphi^{-1}(0), 则其是 R 的双边理想（依据环同态，和 0 的特殊性），那么诱导出的 \bar \varphi: (R / \ker (\varphi)) \to \text{im}(\varphi) 是环同构。
只要用 \ker(\varphi) 刻画了在 R' 上像相等的等价类，那么同构便是自然的。
类似群中的情形，我们可以注意到对于任意环同态 \varphi : R_1 \to R_2，双边理想有对应的映射 :
\{ R_2 的双边理想 \} \to \{ R_1 的双边理想 \}
I_2 \to \varphi^{-1}(I_2)
此映射满足：
I_2 \subseteq I_2' \Rightarrow \varphi^{-1}(I_2) \subseteq \varphi^{-1}(I_2')
而在 \varphi 是满的时候有以下结果 :
命题 5.1.11: 设 \varphi : R_1 \to R_2 是满的环同态，则有双射 :
\{I_2 \subseteq R_2 的双边理想 \} \to \{\ker (\varphi) \subseteq I_1 \subseteq R_1 的双边理想 \}
I_2 \to \varphi^{-1}(I_2)
\varphi(I_1) \leftarrow I_1
而且合成同态 R_1 \xrightarrow{\varphi} R_2 \to R_2 / I_2 诱导出环同构 R_1 /\varphi^{-1} (I_2) \cong R_2 /I_2.
进一步我们类似的有:
命题 5.1.12 设 S 是 R 的子环，而 I 是 R 的双边理想，则合成同态 S \to (S+I) \to (S+I)/I 诱导出环同构 :
\theta : S / I \cap S \to (S+I) / I
处理一下合成同态的 \ker 即可。
命题 5.1.13: 设 R 是一个环， I \subseteq R 是 R 的一个理想，如果 1 \in I 则 I=R.
由于理想对于乘法的吸收性，这是显然的。
5.2 环的分类
定义 5.2.1: 设 R 为环，对任意 x \in R 定义中心化子 :
Z_R (x ):= \{ r \in R : rx = xr \}
即对 x 交换的元素。
定义环 R 的中心为:
Z_R := \{ r \in R : \forall s \in S, rs=sr \} = \bigcap_{x \in R} Z_R(x)
即对任意元素都交换的元素。
考虑只有在群中我们有 a \to ab 是单射，在幺半群中则不然，而考虑到零元素的特殊性，我们还需要引入：
定义 5.2.2: 对于 r \in R, 若存在 r' \neq 0 使得 rr' =0, 则称其为左零因子. 类似可以定义右零因子，而这些左或右的零因子统称为零因子
定义 5.2.3(整环): 无非零的零因子的交换环被称为整环
也就是说 ab =0 蕴含 a=0 \vee b=0 的环是整环.
定义 5.2.4(除环和域): 若环 R 中的每一个非零元皆可逆，则称 R 为除环，交换除环则称为域。
命题 5.2.5: 设 R 是非零环，证明 :
$(2).$ 设 $F$ 为域，则任意非零环同态 $\varphi :F \to R$ 都是单射.
证明：
对于 (1).
若 R 是域，则其除去零元的部分对于乘法形成一个群，故而对于任意非零元 x,y \in R, 存在 r=x^{-1}y \in R 使得 xr =y, 故而任意主理想 \langle x \rangle 都可以生成整个 R. (0 \in I 是任意理想都有的)
若 R 中没有平凡的理想，由于 R 是非零环，故而对于任意 x \in R ， \langle x \rangle =R, 那么其的可逆性是显然的 （因为 I =R 蕴含 1 \in R）.
对于 (2).
由同构 F / \ker (\varphi) \cong \text{Im} (\varphi), 则得 \varphi 是单射。
命题 5.2.6: \Z 是环范畴 \text{Ring} 的始对象, 对于任意环 R , 其给出的唯一态射 \sigma : \Z \to R 满足 \text{im} (\sigma) \subseteq Z_R.
证明略，这是 \Z 的可数性和运算的可数性的必然结果.
定义 5.2.7 (主理想): 设 R 是交换环，则 x \in R 生成的理想 (x) : = \{ rx : r \in R \} 被称为主理想, 如果其任意理想都是主理想，则称为 主理想环 .
更一般的集合 S \subseteq R 生成的理想可以被写为 :
\langle S \rangle = \{ \sum_{s \in S} r_s s, 至多有有限个 r_s 非零 \}
5.3 普通版多项式入门
因为变元 \{ X, X^2 ,...,X^n ..\} 实际上可以取成为更一般的幺半群即可， 我们这里只讨论一个普通一点的多项式 .
定义 5.3.1: 设 R 是非零环，以 X 为变元，系数为 R 的多项式定义为:
f=\sum_{n \ge 0} a_n X^n , a_n 至多有限个非零
的形式和, 所有这些多项式构成的集合为 R[X].
在上面定义加法乘法为 :
\sum_{n \ge 0} a_n X^n + \sum_{n \ge 0} b_n X^n = \sum_{n \ge 0} (a_n +b_n) X^n
(\sum_{n \ge 0} a_n X^n) (\sum_{n \ge 0} b_n X^n) = \sum_{n\ge 0} (\sum_{h,k > 0 ,h+k =n} a_h b_k) X^n
易见此时 R[X] 成环 . (需要验证结合律和分配率等)
我们还可以简单将 R 嵌入到 R[X] 中，且 R 是 R[X] 的子环.
为了方便研究，我们习惯称首先系数为 1 的多项式是首一多项式.
同时记多项式 f \in R[X] 的次数为 \deg f:=\max \{ n : a_n \neq 0\}.
若 R 是交换环，则 R[X] 显然也是.
引理 5.3.2: 设 R 是整环，则 R[X] 也是整环，且此时对于所有的 f,g \in R[X] 有 \deg (fg) = \deg f + \deg g.
作为推论，此时 R[X]^\times = R^\times.
证明比较显然
对于多项式环的构造，我们还可以引入多元的情形.
定义 5.3.3: 设 f = \sum_{a_1,...,a_n \ge 0} c_{a_1,...,a_n}X^{a_1}_1...X^{a_n}_n 是 R[X_1,...,X_n] 中的元素，若存在 N \in \Z_{\ge 0} 使得对于所有 c_{a_1,...,a_n} \neq 0 有 N = \sum_{i=1}^n a_i 成立，则称 f 是 齐次的.
记号 5.3.4: 将 f \in R[X_1,...,X_n] 记为 :
f = \sum_{a_1,...,a_n \ge 0} c_{a_1,...,a_n}X^{a_1}_1...X^{a_n}_n = \sum_{\bm a} c_{\bm a} \bm X^{\bm a}
定理 5.3.5(多项式的带余除法): 设 F 是一个域，对于任意 a, d \in F[X], 若 d \neq 0 存在唯一的 q, r \in F[X] 使得 \deg (r) < \deg (d) 使得 a = qd +r, 此处定义 \deg (0) = -\infty.
证明：
先来证明存在性: 一个简单的思路是不断递归去减，也可以考虑取某个余数集合的极小元来说明.
取非空集合 S = \{ a - qd : q \in F[X] \} , 其中必有元素使得 \deg(a-qd) 极小 （因为 \deg 的值域只在 \Z_{\ge 1} \cup \{ -\infty \}） . 设其为 r, 只需说明 \deg (r) < \deg (d) 即可.
考虑反证，设 \deg (r) \ge \deg (d) , 取 n : = \deg (r) ,m:= \deg (d), 我们设 :
r =\alpha_n X^n + 低次项 , d= \beta X^m + 低次项, \quad \alpha_n , \beta_m \neq 0
只需考虑 :
\deg(a -(q + \frac{\alpha_n}{\beta_n}X^{n-m})d) = \deg (r- \frac{\alpha_n}{\beta_n} X^{n-m}d) < n = \deg (r)
即矛盾 .
至于唯一性，这个证明方法还挺妙的。
我们考虑存在两组解 dq_1 + r_1 =dq_2 +r_2 , 则:
d(q_1 -q_2) = r_2 -r_1
由于 \deg (r) < \deg (q), 比较两边的次数则可知相等的必要条件是 q_1 =q_2 , r_1 =r_2.
细观我们的证明过程，可以发现只需 \beta_n 可逆即可, 故而类似的结果可以推广到更一般的整环上 .
定义 5.3.6: 设 f \in R[X_1,...,X_n] 是一个多项式，那么其自然的给出多项式函数 f : R \times .... \times R \to R. 只需代入 X_1 : =x_1, X_2 : = x_2,...,X_n := x_n .
定义 5.3.7: 若 f \in F[X] 而 a \in F 满足 f(a)=0 则称 a 是多项式 f 的根.
命题 5.3.8: 设 f \in F[X] 是多项式，则对于任意 a \in F 可以将 f 表成 f = (X-a)q + r , 其中 \deg r<1, 且有 r=f(a), 作为推论 , a 是 f 的根，当且仅当 r=0.
证明无非是对 5.3.5 的直接应用 .
命题 5.3.9: 设 f \in F[X] \setminus \{ 0 \}, 则其在 f 中至多有 \deg n 个根 .
证明 : 对 n : = \deg f 递归论证.
而对于 $ n \ge 1$ 的情形，若 $f$ 有相异根 $a_1,...,a_{n+1}$, 那么存在唯一的 $g$ 使得 $f = (X-a_{n+1})g$.
由于我们在尝试递归的论证，尝试说明 $g$ 有 $n$ 个根即可. (因为 $\deg g =n-1$)
只需注意到，对于任意的 $1 \le i \le n$ 皆有 $a_i - a_n \in F^\times$ (相异), $g(a_i) = \frac{f(a_i)}{(a_i -a_{n+1})} =0$, 这说明 $g$ 有 $n$ 个相异根. 这与 $\deg g =n-1$ 矛盾 .
## 5.4 特征
> **引理 5.4.1:** 设 $R$ 是环，则存在唯一的环同态 $\Z \to R$, 唯一可能的映法是 $n \to n \cdot 1_R$.
证明并不难，存在性和唯一性要分开证明. (存在性即需要验证其的确是环同态).
> **定义 5.4.2:(特征)** 设 $R$ 是非零环，则 $\text{char} (R)$ 定义为最小的使得 :
>
> $$n \cdot 1_R =0_R$$
>
> 成立的正整数 $n$. 若不存在这样的 $n$ , 则定义 $\text{char}(R) =0$.
经管在一般的环上就可以定义特征，不过我们在这里主要讨论特征在域论中的应用 .
> **命题 5.4.3:** 设 $R$ 为整环，则 $\text{char}(R)$ 要么为 $0$, 要么为素数.
证明：
设对 $\text{char}(R)$ 有分解 $\text{char}(R) = a b (a,b >1)$.
故 :
$$\text{char} (R) \cdot 1_R = (a \cdot 1_R) (b \cdot 1_R) =0_R$$
而又因为 $R$ 是整环，故而必有 $\text{char}(R) \mid a$ 或 $\text{char}(R) \mid b$, 这与我们的前提矛盾，故而 $\text{char}(R)$ 不可被分解，其是素数.
> **命题 5.4.4** 若 $R_0$ 是 $R$ 的子环，则 $\text{char}(R_0) = \text{char}(R)$.
证明：应该由 $1_R \in R_0$ 立见.
> **推论 5.4.5:** 设 $E,F$ 为域，若 $\text{char}(E) \neq \text{char} (F)$, 则不存在 $E$ 到 $F$ 的环同态 .
证明：设存在这样的环同态 $\varphi$.
如果 $F$ 的特征为 $0$, 则 $E$ 的特征不为 $0$, 故而 :
$$\varphi(\text{char}(E) 1_E) = \text{char}(E) 1_F \neq 0$$
这与 $\varphi(0)=0$ 矛盾 .
如果 $F$ 的特征不为 $0$, 若 $E$ 的特征也不为 $0$.
则:
$$0_F = \varphi(0_E) = \varphi(\text{char}(E)1_E) = \text{char}(E)1_F $$
这蕴含 $\text{char} (F) \mid \text{char}(E)$, 这与 $\text{char} (E)$ 是素数矛盾 .
若 $E$ 的特征为 $0$, 故而 :
$$\varphi(\text{char(F)}1_E) =\text{char}(F) 1_F =0$$
再由 $5.2.5$ 可知， $\text{char}(F)1_E=0$, 故而矛盾 .
从上述论证也可以明白, 从域 $F$ 中的 $0_F , 1_F$ 出发, 通过四则运算所能得到的最小子域或者是 $\mathbb Q$ 的一份副本 (特征 $0$ 情形), 或者是 $\mathbb F_p$ (特征 $p > 0$ 情形) 的一份副本.
这一最小子域被称为 $F$ 的**素域**.
## 5.4 交换环初探
> **定义 5.3.1 :** 交换环 $R$ 的**真理想** $I$ 称为:
>
> * **素理想,** 如果 $xy \in I$ 蕴含 $x \in I, y \in I$.
> * **极大理想,** 如果 $I \neq R$ 且不存在严格包含 $I$ 的理想。
>
> 分别记 $R$ 中的素理想和极大理想所成的集合为 $\text{Spec} R$ 和 $\text{MaxSpec} R$, 称为 $R$ 的素谱和极大理想谱。
"素" 之名似乎来自于， $I$ 包含了所有对于 $I$ 中的元素是 "素" 的元素。
那么可以猜测，素理想在环同态下可能保持。
> **引理 5.3.2:** 对任意环同态 $\varphi: R_1 \to R_2$, 其将素理想映为素理想。
对于 $\text{MaxSpec R}$ 一般没有相应的结果.
> **命题 5.3.3** 设 $I$ 为 $R$ 的真理想，则:
## 5.5 唯一分解性
我们以 $R=\Z$ 为研究对象的话，注意到在整数上的整除关系 $a \mid b$ 蕴含 $\exist d \in \Z, ad=b$. 而 $(a \mid b \wedge b \mid a ) \Leftrightarrow (a=br ,r = \{ \pm 1\})$. 而其中 $\{ \pm 1 \}$ 无非是 $\Z^\times$. 换句话说，整除关系的等价类只能确定到相差一个可逆元上。
我们以整环（交换环+没有非零零因子）作为我们研究的起点。
> **记号 5.5.1(交换环中的整除):** 设 $R$ 是交换环, $x,y \in R$, 若存在 $d \in R$ 满足 $y = dx$, 则记为 $x \mid y$.
> **记号 5.5.2(整除关系的等价类):** 设 $R$ 为整环，$x,y \in R$ 若存在 $d \in R^\times$ 使得 $x=ry$ ，则记为 $x \sim y$.
>
> 可以验证，其是一个在 $R$ 上的等价关系。
以下引理可以揭示这个等价类和主理想之间的练习，这是立见的.
> **引理 5.5.3:** 设 $R$ 是整环，$x,y \in R$ .
>
> $(1).$ $x \mid y$ 当且仅当 $(y) \subseteq (x)
证明 :
对于 (1). 只需注意到 \forall r \in R , \exist d \in R, ry =(rd)x \in (x).
那么 (2) 就是显然的，因为 x \sim y 蕴含 x \mid y 和 y \mid x 这可以推出俩个子集相互包含，故而他们相等。
定义 5.5.4: 设 p 为整环 R 的非零元，p \notin R^\times.
-
若 p \mid ab \Leftrightarrow (p \mid a) \vee (p \mid b) , 则称 p 是 素元.
-
若 p 满足 a \mid p \Leftrightarrow (a \sim p) \vee (a \sim 1) ，则称 p 是 不可约元.
不可约元是从把 p 整除的元素的性质考虑的，而素元是从 p 能整除的元素来考虑的.
Remark 5.5.5 : 不可约元 p 生成的理想是极大理想，而素元生成的理想则是素理想.
在 \Z 中素元与不可约元自然是同一概念，而在一般的整环中则不然，然而可以证明素元一定是不可约元。
引理 5.5.6: 若 p 是素元，则其是不可约元
证明：
设 p 是一个素元。
若有 a \in R 满足 a \mid p, 则根据定义 p 可被写为 p =ab,b\in R.
进而 p \mid ab, 故而 p \mid a 和 p \mid b 有一个成立。
若 p \mid a ，则 a \sim p, 则 p 是不可约元。
若 p \mid b , 则 b 可以写成 b= dp. 故而 p =adp . 所以 ad=1, a \in R^\times，这等价于 a \sim 1.
定义 5.5.7: 若对于整环 R 的所有非零元 r ，都存在 n \in \Z_{\ge 0} 和不可约元 p_1,...,p_n \in R 使得 :
r \sim p_1 p_2 ...p_n
而且 p_1,...,p_n (计重) 的等价类是由 r 唯一确定的，则称 R 为 唯一分解环. 按惯例，若 n=0 上面的表达式应被理解为 r \sim 1.
我们取 r,s \in R , 其分别被表示为 :
r \sim \prod_i p_i^{a_i} ,s \sim \prod_i p_i^{b_i} , \quad a_i ,b_i \in \Z_{\ge 0}
其中 p_1,p_2,...,p_n 是相对于 \sim 互不相等的不可约元。进而定义最大公约数和最小公倍数 :
\gcd (r,s) \sim \prod_i p_i^{\min(a_i,b_i)}, \text{lcm}(r,s) \sim \prod_i p_i^{\max(a_i,b_i)}
与其说是数，我们其实只给出了一个 R 对于 \sim 下的等价类而已。
而对于:
\gcd(r,s) \sim 1
的 r,s , 我们称他们互素。
而 R 的唯一分解性可以给出分式域 \text{Frac}(R) 的非零元有本质唯一的表法（类似于 \mathbb{Q} 之于 \Z , \mathbb Q 的本质唯一表法就是互素的 p,q 给出的 \frac{p}{q}）
引理 5.5.8: 设 F 为域，整环 F[X] 的所有理想 I 都是主理想 .
证明思路是任取一个理想 I, 从中取一个次数极小的元素，然后将其首项归一，记其为 P ，运用反证法，如果 I 中有个元素不被 X 整除，由理想对加法的封闭性可以论证其余数亦必须在 I 内，再应用定理 5.3.5 即可论证余数次数必定更小，进而矛盾 .
引理 5.5.9: 整环 F[X] 的不可约元都是素元 .
证明：
定理 5.5.9(多项式环的唯一分解定理): 整环 F[X] 是唯一分解环.
5.6 应用: Mason-Stothers 定理
定义 5.6.1: 对于非零多项式 f \in F[X] , 定义 f 的根基为:
\text{rad}(f) =\prod_{p \mid f, 不可约首一多项式} p