直线与圆：直线の基础&&直线与点の对称问题

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直线与圆：直线の基础&&直线与点の对称问题

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补遗

好像很常考，但其实高考不常考（

高考怎么能考原理这么简单，计算量这么小的东西

首先明确一个事情，关于对称，要想到一个距离相等，就是A\space and\space B关于C对称，即有d_{AC}=d_{BC}。你想想初中的关于x/y轴、原点对称，是不是这个道理？

然后我们分类讨论，易得决策有两种：直线和点，根据乘法原理，对称问题有四种：

不都写在下面了吗（

好，我们现在就开始吧！

Basic Knowledge

直线的一些指标

倾斜角\alpha：直线上方与x轴正向的夹角，\alpha \in[0,\pi)，与x轴平行或重合时，\alpha=0

斜率：k=\tan \alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}，注意到\alpha=\frac{\pi}{2}时，斜率不存在，大题一定要记得讨论其实什么题都要讨论

横截距：直线与x轴交点的横坐标

纵截距：直线与y轴交点的纵坐标

直线的方向向量：\mathrm{\overrightarrow{u}=\space <x_2-x_1,y_2-y_1>\space=\space<1,k>}

直线方程

点斜式：y-y_0=k(x-x_0)，不适用于斜率不存在的直线

斜截式：y=kx+b，其中b为纵截距。不适用于斜率不存在的直线

两点式：\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}，其中y_2\not= y_1,x_2\not= x_1

截距式：\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1，其中a 为横截距，b为纵截距。不适用于过原点的直线

一般式：Ax+By+C=0，其中A,B不同时为0

几何关系的坐标表示

这里使用斜截式和一般式：

距离公式

  1. 点到点的距离（曼哈顿距离）：d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

  2. 点到直线的距离：d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}

  3. 两条平行直线间的距离：d=\frac{\lvert c_2-c_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}

导出结论

  1. 平行于l:Ax+By+C_1=0的直线：l':Ax+By+C_2=0

  2. 垂直于l:Ax+By+C_1=0的直线：l':Bx-Ay+C_2=0

  3. 过l_1:A_1x+B_1y+C_1=0和l_2:A_2x+B_2y+C_2=0的交点的直线（系）：

  1. 中点坐标公式：x'=\frac{x_1+x_2}{2},y'=\frac{y_1+y_2}{2}

点关于点对称

我们设点A(x,y)关于P(a,b)的对称点为A'(x',y')，想想这个：

关于原点对称：(x,y)\rightarrow(-x,-y)

注意到这种情况下有\frac{x+x'}{2}=a,\frac{y+y'}{2}=b，事实上，这个公式在关于(a,b)对称的任一点都是成立的。所以，我们可以算出A'(2a-x,2b-y)。

点关于直线对称

对于一点A(x,y)和一条直线l:Ax+By+C=0，我们很容易发现：

那我们先把这些条件翻译一下：

\begin{cases}A\cdotp \frac{x+x'}{2}+B\cdotp\frac{y+y'}{2}+C=0\\ k_{AA'}k_l=-1\end{cases}

稍作整理：

\begin{cases}A\cdotp \frac{x+x'}{2}+B\cdotp\frac{y+y'}{2}+C=0\\ \frac{y'-y}{x'-x}\cdotp -\frac{B}{A}=-1 \end{cases}

当然，很多资料书也喜欢进一步整理成这个样子：

\begin{cases}A\cdotp \frac{x+x'}{2}+B\cdotp\frac{y+y'}{2}+C=0\\ A(y'-y)-B(x'-x)=0 \end{cases}

形式看起来很复杂，但本质是一样的。

直线关于点对称

首先我们想到两点确定一条直线，所以如果要确定一条直线关于一个点的对称直线，我们可以在这条直线上取两个点，算出它们的对称点。然后两个对称点所确定的直线就会是我们要求的对称直线。

显然就算取直线与x/y轴交点（有一个坐标为0），这样的方法计算量也很大，我们想想怎么优化。

注意到如果两条直线不平行，那它们不可能关于任意一个点对称，这个命题的正确性是显然的，因为不平行的两条直线旋转\mathrm{\pi\space rad}后不可能重合。

有了这个假设，我们可以直接照搬原直线的A,B两个参数。然后再想到d相等这个关键特征，把点到直线的距离相等列出来，解出对称直线的未知的C就可以了。

注意到点到直线的距离的表达式中有绝对值，所以一般有两个解，但其中一个往往可以舍去，因为它是原直线（

直线关于直线对称

首先我们想到先搞掉l_1//l_2的特殊性质。把直线d相等的表达式列出来就行了。

如果l_1不平行l_2，那它们的对称直线肯定过它们的交点。然后我们再在给出的l_1上取一点，求它关于l的对称点，这个对称点和前面的交点就可以确定对称直线了。

最值问题

用距离公式求最值

这种问题的常见考法：

定点到动直线的最大距离：

给你的直线都是可以拆成前面提到的直线系的，求出这条动直线过的定点，这个定点和题干给定点的距离即为d_{max}

平行线过定点求方程：

一个母题：l_1,l_2各过一个定点，且l_1//l_2，当d_{l_1 l_2}取得\max时，求l_1,l_2方程。

别乱转l_1,l_2，当两个定点确定的直线垂直这两条直线时，能取到d_{max}。

然后我们就确定了直线的斜率，用点斜式即可求出两直线方程。

奇形怪状の式子1：

形如\sqrt{(\dots)^2+(\dots)^2}或(\dots)^2+(\dots)^2的式子求\min，都可以拆为两点距离，不管两个点是定的还是在直线上动，求d_{min}就是了。

奇形怪状の式子2：

形如\sqrt{(\dots)^2+(\dots)^2}\pm\sqrt{(\dots)^2+(\dots)^2}的式子，尝试将其拆成在一条直线上的动点到两个定点的距离的和或差。然后可以用下面的方法解答。

由对称关系求最值

要在一条给定的直线上找一点，使这个点与两个给定的点的距离和最小或差最大。

注意到我们就是在用坐标法讨论初中的“将军饮马”问题。我们也可以利用当时“化曲为直“的思想，随便挑一个给定点，求出它关于给定直线的对称点，然后将对称点与另一个给定点连线，与给定直线的交点即为\sum d取\min的点。

差最大的点，也可以先搞出对称点，然后将距离代换，利用三角关系可得到差的\max。

如图，我们要在l上找两个点P,P'，取得(\lvert PA\rvert +\lvert PB\rvert)_{min}和(\lvert P'A\rvert -\lvert P'C\rvert)_{max}。

我们先找到A关于l的对称点A'。此时BA'及其与l的交点P显然是所求答案。

对于差最大的情况：

本图表的在线链接

2024/9/16 初稿撒花！

9/18 UPD:由关系反推对称轴方程

已知直线l_1:A_1x+B_1y+C_1=0关于直线l_2对称的直线是l_3:A_3x+B_3y+C_3=0。求l_2的方程。

我们不妨把l_2设成y_2=k_2x+b_2，首先联立l_1,l_3的方程，把它们的交点搞出来，然后这个交点肯定也在l_2上，我们不予证明。

然后又考虑到l_1,l_3对称意味着它们上一对对称点的连线段中点也在l_2上，我们可以偷个懒，取l_1/l_3与x/y轴的交点，求其对称点，算出中点后代入l_2表达式联立求解。当然，也可以用l_2必定中垂这对对称点的连线段来算，斜率之积=-1。一般都会解出两条互相垂直的直线。

还有一个比较开挂的方法，我们可以把l_1和l_3两条直线的其中一条看成不动的，那么这个对称轴就一定随着另一条直线的旋转而旋转，方程也会变。那么这两条直线的坐标就可能具有某种关系。

我们假设定住l_3，然后取l_1上一点(x_0,y_0)（完全可以偷懒取x/y轴交点），求出它在l_3上的对称点(x'_0,y'_0)，它们的中点(x,y)必在l_2上。注意到x,y和x_0,y_0已通过中点坐标公式联系起来，我们就把x_0,y_0整理成含x,y的式子，因为(x_0,y_0)在l_1上，所以x_0,y_0不管形式如何，一定满足l_1的表达式，所以我们就可以把含x,y的式子代入l_1的表达式中，整理成直线方程的形式，就得到了l_2的方程。

这种方法的思想是“用已知方程推未知点”。较广的学术称呼大概是叫“主从联动”。在圆和圆锥曲线的题目里，我们经常会用到这种方法求各种曲线的轨迹，并且不局限于对称问题。所以这两种方法有点像二分图匹配的匈牙利算法和网络流算法，后者是降维打击。

在求对称轴问题上，我们碰到l_1/l_3是坐标轴的情况，取点的对称点能够落在坐标轴上，即有个坐标为0，就可以采用“主从联动”加速，不然运算优势不是很明显，就像O(nm)和O(n\sqrt m)一样（