球的体积

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前置芝士：圆的面积、三角函数在单位圆中的定义、反函数

1.Idea

这里有一个球，它的半径 =1 。

我们把它竖着切几刀。

它就被分成了一个个小小的圆片。

所有圆片的体积加起来即为球的体积。

2.Solution

当我们将刀数变成无限时，所有圆片面积之和就等于球的体积（微分思想）

要求圆的面积就需要半径

**重点**：这里的小圆片的半径是不确定的，所以就需要使用 $sin(x)$ 来取得 $\theta=x$ 时的值，可是这需要角度计算，我们只知道 $x$ ,可以使用 $cos(x)$ 的反函数 $cos^{-1}(x)$ 来取得 $\theta$ , $sin(cos^{-1}(x))$ 即为 $x$ 的圆片的半径, $sin(cos^{-1}(x))$ 为 $x$ 圆片的面积。 设 $f(x)=sin(cos^{-1}(x)) g(x)=\pi f(x)^2

则 球的体积 =\int_{-1}^{1}g(x)dx

3.Expand

可是如果这个球的半径不 =1 呢？

就是说，g(x) 在取 f 值时需要取 f\left(\frac{x}{r}\right) (r为半径)

取出的值还需要 \times r

则 g(x)=\pi (f(\frac{x}{r})r)^2

4.Formula

如果要使用公式求球的体积，那么肯定需要常数。

球为3维图形，则半径扩大 x 倍，体积扩大 x^3 倍。

可使用模型 a\pi x^3 , a\pi x^3= 球的体积 ，球的体积已知，x 为球的半径也已知，则 a=\frac{V}{\pi x^3} ,随意带入一组半径和体积即可。

如果要把常数化为分数，即 \frac{4}{3} ，可以参考此题 P1298 最接近的分数 。