某高考放缩

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设数列 \{A_n\} 满足 A_0=1,A_{k+1}={A_{k}}^2+\alpha。

证明：取 n=2024,\alpha=\frac{1}{2^n-n} 时 A_n>e。

注意到 \color{turquoise}{\large\displaystyle A_{m+1}=\prod_{k=0}^{m}\left(1+\frac{\alpha}{{A_{k}}^2}\right)^{2^{n-k}}}。

由于 A 单调递增且 A_i\geq1，有 A_{m}\leq \left(1+\alpha\right)^{\sum\limits_{k=0}^m2^{m-k}}=(1+\alpha)^{2^m-1}。

（已经可以证明原题的第二小问）把他反代入上式：

A_{m+1}\geq \exp\left\{\sum_{k=0}^{m}2^{m-k}\ln\left\{1+\frac{\alpha}{(1+\alpha)^{2^{k+1}-2}}\right\}\right\}\\\geq\exp\left\{\sum_{k=0}^{m}2^{m-k}\frac{\alpha}{\alpha+(1+\alpha)^{2^{k+1}-2}}\right\}\\\geq\exp\left\{\sum_{k=0}^{m}2^{m-k}\dfrac{\alpha}{(1+\alpha)^{2^{k+1}-1}}\right\}

（事实上这里对 \ln 的放缩 \ln x\geq 1-1/x 有点多，但还能证）

所以只需证明 \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{2^{n-1-k}}{(1+\alpha)^{2^{k+1}-1}}\geq 2^{n}-n，即：

\large \sum_{k=1}^{n}\dfrac{2^{n-k}}{(1+\alpha)^{2^k-1}}\geq 2^n-n

考虑一个局部 \dfrac{2^{n-k}}{(1+\alpha)^{2^{k}-1}}\geq2^{n-k}-1+\beta_k，

那么只需 \sum\limits_{k=1}^{n}\beta_{k}\geq 1。

尝试弄一个比较好的 \beta_k ，下面第二到第三行用了 \ln(x)\geq2\dfrac{x-1}{x+1}(x>0)：

\dfrac{2^{n-k}}{(1+\alpha)^{2^{k}-1}}\geq2^{n-k}-1+\beta\\\Leftrightarrow \ln\left(1+\dfrac{1-\beta}{2^{n-k}-1+\beta}\right)\geq (2^k-1)\ln(1+\alpha)\\\Leftarrow\frac{2(-\beta+1)}{2^{n-k+1}-1+2\beta}\geq \frac{2^{k}-1}{2^{n}-n}\\\Leftrightarrow 2^k+2^{n-k+1}\geq 2n+1+2\beta\left(2^n-n+2^k-1 \right)

所以取 2\beta_k=\dfrac{2^{n-k+1}+2^k-2n-1}{2^n+2^k-n-1} 即可。

这时 \beta_1+\beta_2+\beta_{n-1}+\beta_{n} 已经大于 1 了：

\normalsize 2\beta_1+2\beta_2>\frac{(2^n-2n+1)+(2^{n-1}-2n+3)}{2^n}=\frac{3\cdot 2^{n-1}-4n+4}{2^n}\\2\beta_{n}+2\beta_{n-1}>\frac{2^n-2n+1}{2^{n+1}}+\frac{2^{n-1}-2n+3}{3\cdot 2^{n-1}}>\frac{3\cdot 2^{n-1}-4n+4}{2^{n+1}}\\2(\beta_1+\beta_2+\beta_{n-1}+\beta_{n})>\frac{9\cdot 2^{n-1}-12n+12}{4\cdot 2^{n-1}}>2

最后一个放缩 2^{n-1}> 12n-12 在 n 充分大时显然成立。

\square