杜教筛

· · 算法·理论

这是一种对于一个数论函数 f(n)，计算 S(n)=\sum_{i=1}^n f(i) 的快速方法。

构造两个积性函数 h,g 满足 h=g*f，根据卷积的定义，有 h(i)=\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})，对 h 求和，有：

\sum_{i=1}^n h(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d}) =\sum_{d=1}^n g(d)\sum_{d|i}^n f(\frac{i}{d})=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}f(i)=\sum_{d=1}^n g(d)S(⌊\frac{n}{d}⌋)

然后我们得到

\sum_{i=1}^nh(i)=g(1)S(n)+\sum_{d=2}^n g(d)S(⌊\frac{n}{d}⌋) g(1)S(n)=\sum_{i=1}^nh(i)-\sum_{d=2}^n g(d)S(⌊\frac{n}{d}⌋) g(1)S(n)=\sum_{i=1}^nh(i)-\sum_{i=2}^n g(i)S(⌊\frac{n}{i}⌋)

记忆化之后复杂度是 O(n^{\frac{3}{4}}) 的捏。

如果预处理 S(1,...,k)，那么复杂度 O(k)+O(\frac{n}{\sqrt k}) 的捏。

当 k=n^{\frac{2}{3}} 时候有最小值 O(n^{\frac{2}{3}}) 的捏。

欧拉函数怎么独角骰？欧拉函数怎么独角骰？欧拉函数怎么独角骰？

首先有一个 n=\sum_{d|n}\phi(d)，然后套用上面的柿子 g(1)S(n)=\sum_{i=1}^nh(i)-\sum_{i=2}^n g(i)S(⌊\frac{n}{i}⌋) 可得：

S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^n S(⌊\frac{n}{i}⌋)

梅比乌斯怎么独角晒？梅比乌斯怎么独角晒？梅比乌斯怎么独角晒？

首先有一个 [n=1]=\sum_{d|n}\mu(d)，还是套用上面的柿子可得：

S(n)=1-\sum_{i=2}^nS(⌊\frac{n}{i}⌋) 
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define up(i,l,r) for(int i=l; i<=r; ++i)
#define dn(i,r,l) for(int i=r; i>=l; --i)

using namespace std;

const int N=5000010;

int t, n, k=5e6;
int vis[N], p[N], top, phi[N], mu[N];
map<int,int> sphi, smu;

void init() {
    vis[0]=vis[1]=phi[1]=mu[1]=1;
    up(i,2,k) {
        if(!vis[i]) p[++top]=i, phi[i]=i-1, mu[i]=-1;
        for(int j=1; j<=top&&i*p[j]<=k; ++j) {
            int x=i*p[j]; vis[x]=1;
            if(i%p[j]) mu[x]=-mu[i], phi[x]=phi[i]*(p[j]-1);
            else { mu[x]=0, phi[x]=phi[i]*p[j]; break; } 
        }
    }
    up(i,1,k) phi[i]+=phi[i-1], mu[i]+=mu[i-1];
}

int getphi(int x) {
    if(x<=k) return phi[x];
    if(sphi.find(x)!=sphi.end()) return sphi[x];
    int res=(1+x)*x/2;
    for(int l=2, r; l<=x; l=r+1) {
        r=min(x,x/(x/l));
        res-=(r-l+1)*getphi(x/l);
    }
    return sphi[x]=res;
}

int getmu(int x) {
    if(x<=k) return mu[x];
    if(smu.find(x)!=smu.end()) return smu[x];
    int res=1;
    for(int l=2, r; l<=x; l=r+1) {
        r=min(x,x/(x/l));
        res-=(r-l+1)*getmu(x/l); 
    }
    return smu[x]=res;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    init(), cin >> t;
    while(t--) {
        cin >> n;
        cout << getphi(n) << ' ' << getmu(n) << '\n';
    }
    return 0;
}