一道数学题
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个人记录
一道数学题
今天看到一道数学题, 如下.
题目
二维平面上有一只兔子和一条猎犬. 兔子的巢穴在 (0, 0) 点,
而猎犬在 (1, 0) 点.
假设兔子跑到了某个点 (x, y). 此时猎犬发现了兔子, 并往兔子的方向跑.
(猎犬发现兔子前就在 (1, 0) 原地不动)
兔子会以 1m/s 的速度直线跑回巢穴, 而猎犬时时刻刻朝着兔子的当前方向跑,
速度则始终是 2m/s.
如果兔子能在猎犬抓到自己前跑回巢穴, 就说 (x, y) 这个点是安全的.
请计算所有安全的点构成的区域的总面积.
题解.
我们固定起点 (x, y), 那么兔子需要花 T = \sqrt{x^2 + y^2} 的时间跑回原点.
为了方便, 我们把坐标系旋转一下, 让兔子处于 (T, 0) 这个点,
而猎犬初始处于 (u_0, v_0) 点. 事实上, u_0 = \frac{x}{T}, v_0 = -\frac{y}{T}.
那么兔子以 (-1, 0) 的速度匀速直线运动 (单位均为米或者秒, 下同).
我们考虑猎犬相对于兔子的运动,
那么相当于兔子不动, 而猎犬的速度是两个速度向量的叠加:
第一个速度向量就是向着原点大小为 2 的向量;
第二个速度向量是始终向右, 大小为 1 的向量.
考虑这两个速度对应的径向速度和切向速度.
也就是说考虑猎犬朝着兔子的方向 v,
也就是把它们分别分解成平行于 v 的和垂直于 v 的两个速度.
我们设径向速度的正方向是向内 (向原点), 切向速度的正方向是向右 (逆时针).
第一个速度向量对应径向速度为 2, 切向速度是 0.
第二个速度向量对应的径向速度为 \cos \theta, 切向速度是 \sin \theta;
其中 \theta 是从 "向右" 逆时针转到 "径向" 的夹角.
因此复合后, 可知道距离的变化率 \frac{dr}{dt} = - 2 - \cos \theta,
而夹角的变化率则是 \frac{d\theta}{dt} = \frac{\sin \theta}{r}. 弧度制.
因此我们知道 \frac{dr}{d\theta} = -\frac{(2 + \cos \theta) r}{\sin \theta}.
这是一个可分离变量的方程, 可以积分解得
r = C \frac{1 + \cos \theta}{(1 - \cos \theta) \sin \theta}.
反代入进 \frac{d \theta}{dt} = \frac{\sin \theta}{r} 可以得到
= \frac{1}{C} (1 - \cos \theta)^2$.
因此
$$
t = \int \frac{C}{(1 - \cos \theta)^2} d\theta
= - \frac{C\sin \theta (2 - \cos \theta)}{3(1 - \cos \theta)^2} + C'.
$$
可以发现, 只有 $\theta \to \pm\pi$ 的时候, 才能让 $r \to 0
(此时 \sin \theta 也是零点, 但是只是一阶零点, 而分母的 1 - \cos \theta 是二阶零点;
换言之, \lim_{\theta \to \pm\pi} r = 0).
我们可以解出 C = \frac{r_0 \sin \theta_0 (1 - \cos \theta_0)}{1 + \cos \theta_0},
因此总的时间为
&\phantom{:=:} - \frac{C \sin \theta (2 - \cos \theta)}{3(1 - \cos \theta)^2} \Bigr|_{\theta_0}^{\pm\pi} \\
&= \frac{C \sin \theta_0 (2 - \cos \theta_0)}{3(1 - \cos \theta_0)^2} \\
&= \frac{r_0 (2 - \cos \theta_0)}{3}.
\end{aligned}
因此若兔子成功进巢, 就需要 \frac{r_0(2 - \cos \theta_0)}{3} \geq T.
回忆我们最开始对坐标系的旋转以及 r, \theta 的定义,
可知 r_0 是兔子起点到 (1, 0) 的距离,
而 \theta 是兔子起点到原点的连线与兔子起点到猎犬起点的连线之间的夹角
(正负无所谓, \cos 是偶函数).
我们知道两个向量夹角的余弦值等于其点积除以两向量长度.
因此 \cos \theta_0 = \frac{x(x - 1) + y^2}{r_0T}.
而 r_0 = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}, T = \sqrt{x^2 + y^2}.
整理之后可以解得
\lvert x \rvert &\leq \frac{1}{2}, \\
\lvert y \rvert &\leq \frac{\sqrt{1 + \sqrt{1-3x^2} - 6x^2}}{\sqrt{6}}.
\end{aligned} \right.
因此我们要计算的面积就是
2\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{2\sqrt{1 + \sqrt{1 - 3x^2} - 6x^2}}{\sqrt{6}} dx
换元 u = \sqrt{1 - 3x^2},
那么 x = \sqrt{\frac{1 - u^2}{3}}, dx = \frac{u}{\sqrt{3(1-u^2)}},
因此上述积分等于
2\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{\sqrt{2}u\sqrt{2u^2 + u - 1}}{3\sqrt{1-u^2}} dx
= \frac{2 \sqrt{2}}{3}
\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{u\sqrt{2u - 1}}{\sqrt{1 - u}} dx
用一些积分小技巧(换元 v = \sqrt{\frac{2u-1}{1-u}}, 就可以把 u 写成 v 的多项式, 从而积分就变成了有理分式积分), 可以把它对应的不定积分积出来, 是
-\frac{1}{12}\bigl( \sqrt{(2u-1)(1-u)}(4u+5) + 7\arcsin(\sqrt{2(1-u)}) \bigr).
代入 \frac{1}{2}, 1 就知道答案是 \frac{7\pi}{24}.