高中物理竞赛力学篇——动量

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\mathrm{start \ from} \ 2021.12.5 $update\ 2021.12.12$ 积分法，动量定理，动量传输。 ----- 动量对于初学者来讲实际上是一个很难懂的物理量，因为这个物理量很“虚”，不像时间，质量一样，能感受的到。 那么动量的定义是什么，这里直接给出定义式： $\vec{p}=m\vec{v}

即动量为质量和速度的积，动量为一个矢量。

动量什么时候守恒？

一个物体的动量在一个物体不受任何外力的情况下守恒。

这里需要注意：由于动量为一矢量，可将其分解，加入一个物体在竖直方向上受到外力不平衡，但在水平方向上是平衡的，那么这个物体的水平动量守恒。

系统动量定理

根据牛顿第三定律，两个相互作用的物体，质量可能不同，但它们之间的相互作用力等大反向且在同一条直线上。

设两个物体分别为 1,2。

则 \vec{F_1}=\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\mathrm{d}\vec{p_1}}{\mathrm{d}t}},\vec{F_2}=\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\mathrm{d}\vec{p_2}}{\mathrm{d}t}}

由于方向相反,所以 \vec{F_1}=-\vec{F_2}

\therefore \vec{F_1}+\vec{F_2}=0 \therefore \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\mathrm{d}\vec{p_1}}{\mathrm{d}t}}+\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\mathrm{d}\vec{p_2}}{\mathrm{d}t}}=0 \therefore \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\mathrm{d}(p_1+p_2)}{\mathrm{d}t}}=0

因此我们可以得出一个结论，如果两个物体只存在相互作用力，那么这两个物体的整体动量守恒。

推论：如果一个系统只有内力，不受外力，那么这个系统总动量守恒。

这个不受外力的系统被称之为孤立系统。

现实中并没有绝对意义上的孤立系统，但当系统内力远大于外力的时候，可以近似堪称孤立系统。

动力学方程

这里直接说结论了。

设系统外力为 \vec{F},动量为 \vec{p}

则 F=\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}}

设 \vec{F_i} 为 i 物体受到的合外力， \vec{p_i} 为 i 物体的动量。

则 \vec{F}=\displaystyle\sum_{i} \vec{F_i}。

\vec{p}=\displaystyle\sum_{i}\vec{p_i}

质心运动定理

定义质心位置为 \vec{r_c}=\frac{\displaystyle\sum_{i} (m_i · \vec{r_i})}{\displaystyle\sum_{i} m_i}

其中 \vec{r_i} 为 i 的位矢。

我们一般称 \displaystyle\sum_{i} m_i 为 M。

质心实际上就是以质量为权重的加权位置平均数。

对质心位置求导可得质心速度 \vec{v_c}=\frac{\displaystyle\sum_{i} (m_i · \vec{v_i})}{M}

再次求导可得质心加速度 \vec{a_c}=\frac{\displaystyle\sum_{i} (m_i · \vec{a_i})}{M}

由动力学方程，有 F=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(M·\vec{v_c})}{\mathrm{d}t}=M·\vec{a_c}

质心位置求法

一般有以下集中求法：

直接用定义式即可。

如果一个质量均匀的物体关于某个轴对称，那么这个物体的质心肯定在这条轴上。

略。

如果一个系统里有两个物体 A,B，那么这个系统的质心 \vec{r_c}=\frac{\vec{r_{ac}}·m_a+\vec{r_{bc}}·m_b}{m_a+m_b}

其中 \vec{r_{ac}} 为 A 的质心位置， B 同理。

这里直接举个例子。

绿色圆圈（将其称为 \bigodot O_1） 半径为 R

蓝色圆圈（将其称为 \bigodot O_2） 半径为 \frac{R}{2}

且两圆内切。

假设现在这个图形可看成 \bigodot O_1 减去 \bigodot O_2

以 O_1 为原点，求质量均匀的这个图形的质心,面密度为 \sigma。

负质量法就是说把 \bigodot O_2 的质量当成负的，用分割法算质心。

\bigodot O_1$ 的质心为 $(0,0) \bigodot O_2$ 的质心为 $(\frac{R}{2},0)

所以图形的质心为 \frac{0 \times \sigma \times \pi \times R^2+\frac{R}{2} \times (- \sigma \times \pi \times (\frac{R}{2})^2)}{\sigma \times \pi \times R^2+(- \sigma \times \pi \times (\frac{R}{2})^2)}=-\frac{R}{6}

所以质心位置在 (-\frac{R}{6},0)

内容：一个质量均匀分布的平面物体，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积与物体质心在运动中所经过的路程的乘积。

这里不予证明。

推论:一个质量均匀的平面曲线，其上各点沿垂直于曲线平面方向运动，在空间扫过一曲面，则此曲面面积等于质心路程与曲线长度的乘积。

直接按质心定义求。

\vec{r_c}=\frac{\displaystyle\sum_{i} (m_i · \vec{r_i})}{\displaystyle\sum_{i} m_i}

把求和符号改为积分符号。

一般这种题会给你密度分布。

动量定理

定理内容：力在时间上的累计等于动量的变化量。

用公式来描述即为：

F·t=\Delta p

我们把 F·t 记作 I （冲量）

动量传输