期望总结（个人笔记9）（未完成）

# 期望题目总结。 ----- - 期望的定义：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。（百度百科） **简单来说，期望就是各种情况的平均值。** ---------- ### 值得注意的是，一般期望的题目都是反着推更容易，或者说正着推会错。 ----------- - 1.简单的期望题目往往只有一种转移状态（即不会回来）如期望专题的A题，转移方程如下 $$ dp[i]=a*dp[i-1]$$ 但题目往往不会这么简单的，很多题目都会使自己回到自己。比如说期望专题的G题， ------- - 2.那么如何解会回到自己的情况呢？这需要一丢丢数学解方程的思想，“**移项**”。 就拿期望专题的G题举例子， _大意：有 $n$ 个人，其中 $1$ 个是吸血鬼，每天随机两个人相遇，如果都是都是人或者都是吸血鬼则没有事情发生，否则有 $p$ 的几率使村民变吸血鬼，问全变成吸血鬼的期望天数_ 思路，首先要明白， $dp[x]$ 可能从自己转移。所以 $dp[1]!=0$ ，所以这题显然是不适合正着推，所以设 $dp[i]$ 为需要的步数，得到： $$q=\frac{x*(n-x)}{C_n^2}*p$$ q是有x个吸血鬼的时候再变个吸血鬼的概率 $$dp[i]=dp[i+1]*q+dp[i]*(1-q)+1$$ $$dp[i]*q=dp[i+1]*q+1$$ $$dp[i]=\frac{(dp[i+1]*q+1)}{q}$$ $$dp[i]=dp[i+1]+\frac{1}{q}$$ 因此可以轻易得到$dp[1]$的值。 _ps：做一件事情做到完成为止（例如投篮球），期望都是类似于这样加上$\frac{1}{q}$。_ ----- - 3.上面例举的期望题目仍旧是很简单的类型，因为他们之间不会有互相转移的情况，而又互相转移的情况，那么就复杂了。 比如说期望专题的L题，打棒球。 _题目大意，一个人在练习棒球，击不中的概率为 $q$ 。如果连续 $ k1 $ 次击中，或者连续 $ k2 $ 次击不中，就停止练习。求练习的期望次数。_ ~~看到这题目一脸懵，什么鬼……~~ 先硬着头皮先写下方程式…… 设$f(x)$是连续打中x球结束的期望，$w(x)$是连续不中x球结束的期望，$p$是击中的概率，$q$是打不中的概率。 $$f(x)=f(x+1)*p+w(1)*q+1$$ $$w(x)=w(x+1)*q+f(1)*p+1$$ 我们就看 $f(x)$ 得到： $$f(x)-f(x+1)*p=w(1)*q+1=A$$ $$f(x)-f(x+1)*p= A $$ $$f(x)=f(x+1)*p+A$$ 于是我们就得到了一个递推的方程式，特殊的$f(k1)=0$，再模拟下去…… $$f(k1-1)=A$$ $$f(k1-2)=(1+p)*A$$ $$\vdots$$ $$f(1)=xA$$ 同理，我们可以得到打不中的期望： $$w(1)=yB$$