Cauchy高阶导数公式及其应用

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和龚升《简明复分析》的处理方式不同（龚书用了单位圆内复数的几何级数展开），今天上数学课时偶然发现了这种证法：

Cauchy高阶导数公式

全纯函数 f(z) 的各阶导数为

f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi

证明：

我们使用归纳法，当 n=2 时有

f(z)-f(z_0) \\=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi-\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{\xi-z_0}d\xi \\=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{(z-z_0)f(\xi)}{(\xi-z)(\xi-z_0)}d\xi

于是

\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)(\xi-z_0)}d\xi

令 z_0\to z，得到

f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^2}d\xi

这就证明了 n=2 时的情况。

而

f^{(k)}(z)-f^{(k)}(z_0)=\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{k+1}}d\xi-\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{k+1}}d\xi \\=\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{k+1}}-\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{k+1}}d\xi \\=\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)[(\xi-z_0)^{k+1}-(\xi-z)^{k+1}]}{(\xi-z)^{k+1}(\xi-z_0)^{k+1}}d\xi

由于有恒等式

a^{k+1}-b^{k+1}=(a-b)(a^k+a^{k-1}b+\cdots+b^k)=(a-b)\sum_{j=0}^{k}a^{k-j}b^j

于是

f^{(k)}(z)-f^{(k)}(z_0) \\=\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)(z-z_0)\sum_{j=0}^{k}(\xi-z)^{k-j}(\xi-z_0)^j}{(\xi-z)^{k+1}(\xi-z_0)^{k+1}}d\xi \\=\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} f(\xi)(z-z_0)[\sum_{j=0}^{k}\frac{1}{(\xi-z)^{j+1}(\xi-z_0)^{k+1-j}}] d\xi

即可导出

\frac{f^{(k)}(z)-f^{(k)}(z_0)}{z-z_0}=\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} f(\xi)[\sum_{j=0}^{k}\frac{1}{(\xi-z)^{j+1}(\xi-z_0)^{k+1-j}}] d\xi

令 z\to z_0

f^{(k+1)}(z)=\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} f(\xi)[\sum_{j=0}^{k}\frac{1}{(\xi-z)^{k+2}}] d\xi \\=\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} f(\xi)\frac{k+1}{(\xi-z)^{k+2}} d\xi \\=\frac{(k+1)!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{k+2}} d\xi

这样由 n=k 导出了 n=k+1 时成立，用归纳法，就证明了

f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi

推论1

全纯函数的各阶导数存在，且都全纯。

Cauchy不等式

若 f(z) 在域 U 上全纯， 且 |f(z)| 在 U 上有上确界 M，则有在 U 上的 f(z) 的各阶导数估计

|f^{(n)}(z)|\le \frac{n!}{R^n}M

证明：

|f^{(n)}(z)| \\=|\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}d\xi| \\\le \frac{n!}{2\pi i}\oint_{\partial \Omega}| \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}|d\xi \\=\frac{n!}{2\pi i}\int^{2\pi}_0| \frac{f(z+Re^{i\theta})}{(Re^{i\theta})^{n+1}}|d(Re^{i\theta}) \\=\frac{n!}{2\pi}\int^{2\pi}_0 | \frac{f(z+Re^{i\theta})}{(Re^{i\theta})^{n}}|d\theta \\=\frac{n!}{2\pi}\int^{2\pi}_0| \frac{f(z+Re^{i\theta})}{e^{in\theta}}|d\theta \\=\frac{n!}{2\pi R^n}\int^{2\pi}_0| f(z+Re^{i\theta})e^{-in\theta}|d\theta \\=\frac{n!}{ R^n}\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0| f(z+Re^{i\theta})|d\theta \\\le \frac{n!}{ R^n} M

（这个证明方法属于上周五的英语课）

Liouvie 定理

在 \mathbb C 上全纯有界的函数必为常函数。

证明：

取 Cauchy 不等式在 n=1 的情况：

|f'(z)|\le \frac{M}{R}

若将其限为在 \mathbb C 上，则我们可以

令 R\to +\infty，得到 f'(z)\equiv 0

而在整个 \mathbb C 上导数恒等于 0 的函数仅有常函数，于是就证明了定理。

代数基本定理

多项式函数 f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2\cdots+a_nz^n 在 \mathbb C 上有至少一个零点。

证明：

我们使用反证法，假如 f(z) 没有零点，设 p(z)= \frac{1}{f(z)}，p(z) 必定在 \mathbb C 上全纯有界。

而由 Liouvie 定理， p(z) 必为常函数，这就与假设矛盾。证毕。