P2505 [HAOI2012] 道路

最短路图裸题~~（然而也是现学现卖）~~ 首先，存在定理：**i→j 的最短路径的任意一条子路径u→v 都是最短路径** 由此可得，在固定起点S时，存在G的一个子图G ′ ，使得G' 的每一条边都在SS 到其他至少一个点的最短路径上，且G'以外的边不在S 到任意一个点的最短路径上。这里把G ′ 称为源点为S 时G 的最短路图。 判断一条边是否在最短路图上，只需要判断dis[u]+edge[i].dis==dis[v] 即可（u,v分别是边的两个端点） 又存在定理：**对于任意边权为正数的图G和任意起点S，最短路图中不存在环** 对于此题，先枚举起点spfa求出最短路 由于不存在环，所以用拓扑排序 先按照拓扑序，求出S到任意点u的最短路径数目cnt1[u] 再按照拓扑序的逆序，求出在最短路图上以任意点u为起点的路径条数cnt2[u] （在最短路图上如果存在u->v,则cnt2[u]+=cnt2[v]） 最后统计答案：对于在最短路图上的一条边u->v，贡献为cnt1[u]*cnt2[v] ps:不要忘记模数，以及循环时判断当前边是否在最短路图上 ```cpp #include<cstdio> #include<cstring> #include<cctype> #include<deque> #include<queue> #include<algorithm> #define reg register using namespace std; const int N=1505,mod=1e9+7; struct edge { int from,to,nxt,dis; }edge[5005]; int n,m,num,ans[5005],head[N],in[N],cnt1[N],cnt2[N],dis[N],res[N]; bool exist[N],vis[5005]; inline int read() { int x=0,w=1; char c=getchar(); while (!isdigit(c)&&c!='-') c=getchar(); if (c=='-') c=getchar(),w=-1; while (isdigit(c)) { x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0'; c=getchar(); } return x*w; } inline void add_edge(int from,int to,int dis) { edge[++num].nxt=head[from]; edge[num].to=to; edge[num].from=from; edge[num].dis=dis; head[from]=num; } inline void spfa(int s) { deque<int>q; memset(dis,127/3,sizeof(dis)); memset(exist,0,sizeof(exist)); memset(vis,0,sizeof(vis)); q.push_back(s); exist[s]=1; dis[s]=0; while (!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop_front(); exist[u]=0; for (reg int i=head[u];i;i=edge[i].nxt) { int v=edge[i].to,d=edge[i].dis; if (dis[v]>dis[u]+d) { dis[v]=dis[u]+d; if (!exist[v]) { if (!q.empty()&&dis[v]<dis[q.front()]) q.push_front(v); else q.push_back(v); exist[v]=1; } } } } for (reg int i=1;i<=m;i++) { int u=edge[i].from,v=edge[i].to; vis[i]=(dis[u]+edge[i].dis==dis[v]); } } inline void topsort(int k) { queue<int>q; memset(in,0,sizeof(in)); memset(cnt1,0,sizeof(cnt1)); memset(cnt2,0,sizeof(cnt2)); q.push(k); cnt1[k]=1; num=0; for (reg int i=1;i<=m;i++) if (vis[i]) ++in[edge[i].to]; while (!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); res[++num]=u; for (reg int i=head[u];i;i=edge[i].nxt) { if (!vis[i]) continue; int v=edge[i].to; if (!--in[v]) q.push(v); cnt1[v]=(cnt1[u]+cnt1[v])%mod; } } for (reg int t=num;t;t--) { int u=res[t]; ++cnt2[u]; for (reg int i=head[u];i;i=edge[i].nxt) { if (!vis[i]) continue; int v=edge[i].to; cnt2[u]=(cnt2[u]+cnt2[v])%mod; } } } inline void solve(int k) { spfa(k); topsort(k); for (reg int i=1;i<=m;i++) { int u=edge[i].from,v=edge[i].to; if (vis[i]) ans[i]=(1ll*ans[i]+cnt1[u]*cnt2[v]%mod)%mod; } } int main() { n=read(),m=read(); for (reg int i=1;i<=m;i++) { int x=read(),y=read(),z=read(); add_edge(x,y,z); } for (reg int i=1;i<=n;i++) solve(i); for (reg int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]); return 0; } ```