保命洛必达

Cht_master · 2023-08-14 23:23:04 · 个人记录

保命洛必达

汁粥嗦众，某些高考地区禁用洛必达。为偶遇时得分最大化，遂撰此文（

必要性探路

所有可以用洛必达解决的问题，一定都可以用必要性探路解决。—— MST 森哥

，，废话，我还说所有的导数题要是我知道答案都可以用必要性探路讷

当你时间充裕，运用各种奇迹淫巧搞出答案后，你就可以开始必要性探路了。

• 当然你一定要确保你的端点以及端点值的正确性，不然就 GG 了。

  典型例子就是 2020 年全国 I 卷：当 x\geq0 时 f(x)=e^x+ax^2-x\geq\dfrac12x^2+1 恒成立问 a 范围。

  你会发现 g(x)=e^x-\dfrac12x^3+ax^2-x-1 在端点处 0 是可以取的，而且有 g(0)=g'(0)=0，然后你令 g''(x)=1+2a\geq0 就 BBQ 了。

  正解是分离参数（导中切）或者必要性探路之内点效应。

导数的定义与极限的四则运算

原理

• 先考虑对极限式 \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)} 做如下变形：

  \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{g(x)}= \dfrac{\lim_{x\to 0}f(x)}{\lim_{x\to 0}g(x)}= \dfrac{\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}x}{\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)}x}

  如果能用洛必达的话，一般都会满足 f(0)=0 和 g(0)=0，于是继续变形：

  \dfrac{\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}x}{\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)}x}= \dfrac{\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}}

  根据导数的定义，有：

  \dfrac{\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}}= \lim_{x\to 0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}
  • 显然，原本洛必达要洛几次，用这个方法同样也就要变换几次。
  • 如果不是 x\to0 而是 x\to a，做换元 t=x-a 就有了 t\to0，则 \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{t\to0}\dfrac{f(t-a)}{g(t-a)}。
  • 最后一定会变为 \lim_{x\to0}\dfrac{F(x)}x 的形式，然后就可以写 \lim_{x\to0}\dfrac{F(x)}x=\lim_{x\to0}\dfrac{F(x)-0}{x-0}=F'(x)|_{x=0}。

实操

• 首先确定要使用洛必达，这建立在时间不充裕没法完全写完必要性探路的基础上。

• 先化简极限式（比如把常数提出去），如果其分母就是 x，就没必要做分子分母同除以 x 的变形。

• 然后看极限式的自变量是否是 x\to0，如果是 x\to a 就做换元 t=x-a。

• 在书写时，可直接这样无脑写（就是在中间多加了几步做一下形式，反正要记住每次变形后的结果和原版洛必达是一样的）：

  \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}= \dfrac{\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}x}{\lim_{x\to a}\dfrac{g(x)}x}= \dfrac{\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}= \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \dfrac{\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}x}{\lim_{x\to a}\dfrac{g'(x)}x}= \dfrac{\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)-f'(a)}{x-a}}{\lim_{x\to a}\dfrac{g'(x)-g'(a)}{x-a}}= \lim_{x\to a}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}\cdots= \lim_{x\to0}\dfrac{F(x)}x=\lim_{x\to0}\dfrac{F(x)-0}{x-0}=F'(x)|_{x=0}

  可见，相较于原版洛必达：

  \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\to a}\dfrac{f''(x)}{g''(x)}\cdots

  只是多了两个变形步骤，还是比较实用的（迫真

结论

最好还是在确定答案之后写必要性探路，书写量可能也会小一些吧。