因式分解

LinGxIao_0230 · 2022-11-26 12:16:22 · 个人记录

Update

2022.11.26 引子&基本方法

2022.11.27 进阶技巧

内容基本上写完了，例题可能还会增加

本文使用电脑、Ipad 等大屏设备食用效果更佳

手机等屏幕较小的设备可以缩放屏幕以便食用

Part0 引子

数学老师：因式分解是个好东西，初一学了就受益三年，初二学了就受益两年，初三学就只能受益一年。

Question1:什么是因式分解

Answer1:将一个多项式分解成多个整式的积的形式

Question2:为什么要学因式分解

Answer2:因式分解作用广泛，可以用来解方程，找规律，找特性，在代数和数论方面都有较大的作用

Part1 因式分解的基本方法

先说几个思想 换元思想整体思想还有大胆猜测

当你题目做多了之后，你就会发现这组数字你都认识

然后就能以 惊人的速度 分解因式

十字相乘法

这是一个比较实用的方法，但需要有对数字一定的敏感度

L1-1 对5x^2-8x-48进行因式分解

得到\text{原式}=(5x+12)(x-4)

原理：用图的方式简化了草稿的步骤

用法：

左边两数之积对应第一项5x^2

右边两数之积对应第三项-48

交叉相乘之和对应第二项-8x

得到图中四个数后，横向两两相加，然后相乘

Tips：

有些小可爱会发现，我的十字相乘法的图是带有x的

但某些~~ruozhi~~机构授课时是不带未知数的（或者说在画图时把x省略掉了）

把未知数带上可以使自己脑子更清晰，

特别是到了下面讲 主元法 的时候，或有多个未知数的时候

L1-1-2 对x^2+2xy-3y^2+3x+y+2进行因式分解

在这里介绍一个十字相乘法的小分支：

主元法

顾名思义，主元法就是把其中一个未知数作为参数使用，适合解决含多个未知数的因式分解

这题我们选择y为主元，x为参数，把原式整理一下可以得到(1)

然后对最后一个括号使用十字相乘法，得到(2)

接着,这个要一点点整体思想，对整个式子使用一次十字相乘法，得到(3)

然后就不能再分解因式了，故答案为

\text{原式=(-y+x+1)(3y+x+2)}

\text{原式}&=-3y^2+(2xy+y)+(x^2+3x+2) \hspace{0.15cm} \space{(1)}\\ &=-3y^2+(2xy+y)+(x+1)(x+2)\hspace{0cm} \space{(2)}\\ &=(-y+x+1)(3y+x+2)\hspace{1.4cm} \space{(3)}\\ \end{aligned}

别问我为什么这道题不以x为主元，

因为我写blog之前试过x好像分不出来QwQ

所以说主元法的选择是一个玄学的东西（（（

公式法

先来几个公式 ~~（这玩意不比政治历史好背）~~
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3 \pm b^3=(a \pm b)(a^2 \mp ab+b^2) a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2- \dots +a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1}) \hspace{0.5cm} (n \text{ 为正整数且 } n \bmod 2 \ne 0)

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+ \dots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}) \hspace{0.5cm} (n \text{ 为正整数})

L1-2-1 对(x+y)(x-y)+4(y-1)进行因式分解

\text{原式} &=x^2-y^2+4y-4\\ &=x^2-(y^2-4y+4)\\ &=x^2-(y-2)^2\\ &=(x+y-2)(x-y+2) \end{aligned}

这个方法单讲没什么好说的

提取公因式法

本质上是乘法分配律的逆运用

没什么好说的就是要注意整体思想

在后面的方法中也会有体现

Part2 因式分解进阶技巧

添项、拆项

做多题之后你就会发现，~~算了直接放例题吧~~

L2-1-1 对 x^4+x^2y^2+y^4 进行因式分解

显而易见，根据之前的几种基本方法是无法给这玩意分解的

但是，难道你没有发现这个式子很眼熟吗

是不是跟 a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 很像？

所以我们可以得到，

(x^2)^2+2x^2y^2+(y^2)^2=(x^2+y^2)^2

定睛一看，确实好看些了，但是这比原式大了个x^2y^2,怎么办捏

很简单，给他减掉，然后就会得到

\text{原式}=(x^2+y^2)^2-x^2y^2

然后又想到我们的平方差公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)，所以得到

\text{原式}&=(x^2+y^2)^2-(xy)^2\\ &=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy) \end{aligned}

换元法

有些复杂的多项式，如果把其中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可使原式得到化简，而且能使式子的特点更加明晰。这就是换元法。

L2-2-1 对 (x^2-x-3)(x^2-x-5)-3 进行因式分解

这里用到一个取平均的方法

\text{设}a&=x^2-x-4 \text{则}\\ \text{原式}&=(a+1)(a-1)-3\\ &=a^2-1-3\\ &=a^2-4\\ &=(a+2)(a-2)\\ &=(x^2-x-4+2)(x^2-x-4-2)\\ &=(x^2-x-2)(x^2-x-6)\\ &=(x+1)(x-2)(x+2)(x-3) \end{aligned}

换元法的优点是不是很明显，

让我们看到了一个 隐含的 平方差公式。

因式定理法

重中之重来了（敲黑板）

对于一个多项式 a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0，如果 x-a 是它的一个因式，那么把 x=a 代入该多项式，它的值一定为0

反过来，如果当 x=a 时，多项式 a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 的值为0，那么 x-a 是该多项式的一个因式

是不是看着感觉有点懵（

没事来看例题

L2-3-1 已知 x^2+x-6 是多项式 2x^4+x^3-ax^2+bx+a+b-1 的因式，求 a , b的值

~~是不是发现我例题终于不放裸的因式分解了~~

其实因式定理主要是用来解决这种问题的

\text{因为 }x^2+x-6=(x-2)(x+3)\\ \text{所以 } x-2 , x+3\text{都是原式的因式}\\ \text{将}x=-3,x=2 \text{分别代入原式，使得原式的值为0，即}\\ \end{aligned}

2 \times (-3)^4+(-3)^3-(-3)^2a+(-3)b+a+b-1=0\\ 2 \times 2^4+2^3-2^2a+2b+a+b-1=0\\ \end{cases}

a=16\\ b=3\\ \end{cases}

L2-3-2 分解因式： x^4+2x^3-9x^2-2x+8

来吧讲完应用还是得讲一下裸的因式分解

因为8的约数有\pm1,\pm2,\pm4,\pm8。逐个代入原多项式求值，

得 \text{当}x=\pm1,2,-4 时，原多项式的值都为0

这说明x-1,x+1,x-2,x+4都是原多项式的因式

又因为原多项式的次数为4，最高次项的系数为1，所以，

\text{原式}=(x-1)(x+1)(x-2)(x+4)

待定系数法

有的多项式虽不能直接因式分解，但可由式子的最高次数与系数的特点判定其分解结果的因式形式。For example，一个一元三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式，也可能是三个一次因式的积。于是，我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程(组)，进而确定其中的系数，得到分解的结果，这种方法称为待定系数法。

用待定系数法分解因式时需要利用恒等式的如下重要性质：

如果a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \equiv b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x+b_0,那么a_n \equiv b_n,a_{n-1}\equiv b_{n-1},\dots,a_1 \equiv b_1,a_0 \equiv b_0。即恒等式同次项的对应系数一定相等。

这里，“\equiv”表示“恒等于”，即对于任何x的值，等号左边的值都等于右边的值。

L2-4-1 如果多项式 x^2-(a+5)x+5a-1 能分解成两个因式 (x+b),(x+c) 的乘积，且 b,c 为整数，求 a 的值。

由题可得，\text{原式}=(x+b)(x+c)=x^2+(b+c)x+bc

于是，根据恒等式的性质可以得到\begin{cases} b+c=-a-5 \hspace{0.5cm} (1)\\ bc=5a-1 \hspace{1.05cm}(2) \end{cases}

由(1)\times5+(2)得5(b+c)+bc=-26

即bc+5(b+c)+25=-1

从而(b+5)(c+5)=-1

因为 b,c 都是整数，所以 \begin{cases} b+5=1 \\ c+5=-1 \end{cases} 或 \begin{cases} b+5=-1 \\ c+5=1 \end{cases}

解得 \begin{cases} b=-4 \\ c=-6 \end{cases} 或 \begin{cases} b=-6 \\ c=-4 \end{cases}

所以a=-b-c-5=5

L2-4-2 因式分解： 6x^2+xy-2y^2+2x-8y-8

这题好像可以用主元法，我没试过

首先原式的二次项为 6x^2+xy-2y^2=(3x+2y)(2x-y)

从而可以断定原式分解的结果形式为 (3x+2y+a)(2x-y+b)

将右边展开可以得到 6x^2+xy-2y^2+(2a+3b)x+(-a+2b)y+ab

根据恒等式的性质得到\begin{cases} 2a+3b=2 \\ -a+2b=-8 \\ ab=-8 \end{cases} 解得\begin{cases} a=4 \\ b=-2 \end{cases}

所以，

\text{原式}=(3x+2y+4)(2x-y-2)

终于写完了，（（（

因式分解更多的还是数感，

题目做多了之后就会比较熟练。

因此，多做题挺重要的。

例题还会增加。