线性代数习题课【11.2】

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证明：

线性映射 \sigma \in L(V, V), \alpha \in L(V)，若 \sigma^{k-1}(\alpha) \neq 0,\sigma^{k}(\alpha)= 0,k>0, 则 \alpha, \sigma(\alpha), \sigma^2\left(\alpha\right), \ldots ,\sigma^{k-1}(\alpha) 线性无关。

设

\sum_{i=0}^{k-1}\sigma^{i}(\alpha)\lambda_i=0

则

\sigma(\sum_{i=0}^{k-1}\sigma^{i}(\alpha)\lambda_i)=0 \sum_{i=0}^{k-1}\sigma^{i+1}(\alpha)\lambda_i=0,\therefore \sum_{i=1}^{k-1}\sigma^{i}(\alpha)\lambda_i=0

同理有

\sum_{i=2}^{k-1}\sigma^{i}(\alpha)\lambda_i=0 \ldots \sigma^{k-1}(\alpha)\lambda_{k-1}=0\rightarrow\lambda_{k-1}=0 \therefore \sum_{i=k-2}^{k-1}\sigma^{i}(\alpha)\lambda_i=0 \rightarrow \lambda_{k-2}=0

以此类推有

\lambda_0=0,\lambda_1=0,...,\lambda_{k-1}=0

得证。

一个小结论：

\exists \sigma^{-1} \rightarrow \tau=\theta \because \tau=\tau \cdot \sigma \cdot \sigma^{-1}=\theta \cdot \sigma^{-1}=\theta

用这个结论可以判断是否有解。显然这个映射没有逆，所以尝试构造这个解：

\tau \cdot \sigma(1,0)=\tau \cdot \sigma(0,1)=0 ,\text{Im} \sigma=L(1,-1)

那么 \tau(y_1,y_2)=(y_1+y_2,y_1+y_2)。

已知线性映射 \sigma^2=\sigma,\tau^2=\tau,(\sigma+\tau)^2=\sigma+\tau，求证 \sigma\tau=\theta。

显然拆掉后：

(\sigma+\tau)^2(\alpha)=(\sigma+\tau)(\sigma\alpha+\tau\alpha)=\sigma^2\alpha+\tau^2\alpha+\sigma\tau\alpha+\tau\sigma\alpha

也就是

(\sigma+\tau)^2=\sigma^2+\tau^2+\sigma\tau+\tau\sigma

所以

\sigma\tau+\tau\sigma=\theta

Ex：这并不能直接证明 \sigma\tau=\theta。如何构造反例？（其实我也还在思考，咕咕咕了）

接下来我发现两边同时套一层映射做不了，因为无法说明原像集是 V。所以要直接做：

\sigma\tau=\frac{2\sigma\tau}{2}=\frac{\sigma\tau-\tau\sigma}{2} =\sigma\sigma\tau=\frac{\sigma\sigma\tau-\sigma\tau\sigma}{2}=\frac{\sigma\tau+\tau\sigma\sigma}{2}=\frac{\sigma\tau+\tau\sigma}{2}=\theta

证毕。

对于 \sigma\in L(V,V) 构造线性映射使得

\text{Im}\sigma=\text{Ker}\sigma
\sigma^2(\alpha)=0 \Leftrightarrow \text{Im}\sigma\subset\text{Ker}\sigma

我们构造 \sigma(x,y)=(x-y,x-y) 即可。

对于 \sigma\in L(V,V) 证明：\text{Ker}\sigma^2=\text{Ker}\sigma\Leftrightarrow (\text{Ker}\sigma)\cap(\text{Im}\sigma)=\{0\}。

首先有 \text{Ker}\sigma\subset\text{Ker}\sigma^2。这是显然的。

必要性：设 \alpha \in \text{Ker}\sigma,\alpha \in \text{Im}\sigma,\therefore \exists \sigma(\beta)=\alpha.

\sigma^2(\beta)=\sigma(\alpha)=0,\therefore \beta \in \text{Ker}\sigma^2=\text{Ker}\sigma. \therefore \alpha = \sigma(\beta) = 0.

充分性：\dim \text{Ker}\sigma+\dim \text{Im}\sigma=\dim \sigma。

\therefore \text{Ker}\sigma\oplus\text{Im}\sigma=V.

根据直和的性质，对于一个 V 中的向量有唯一表示：\mu=\alpha+\beta,\alpha \in\text{Ker}\sigma,\beta\in\text{Im}\sigma。

只需证明对于 \sigma^2(\mu)=0,\mu\in \text{Ker}\sigma。

\sigma^2(\mu)=\sigma(\sigma\alpha+\sigma\beta)=\sigma^2\beta=0,\sigma\beta\in\text{Im}\sigma,\sigma\beta\in\text{Ker}\sigma.

而 (\text{Ker}\sigma)\cap(\text{Im}\sigma)=\{0\},\therefore \sigma\beta=0,\beta\in\text{Im}\sigma,\beta\in\text{Ker}\sigma.

而 (\text{Ker}\sigma)\cap(\text{Im}\sigma)=\{0\},\therefore \beta=0,\mu=\alpha\in\text{Ker}。

对于 \sigma\in L(V,V) 证明：\text{Im}\sigma^2=\text{Im}\sigma\Leftrightarrow (\text{Ker}\sigma)+(\text{Im}\sigma)=V。

首先有 \text{Im}\sigma^2\subset\text{Im}\sigma。这是显然的。

然后右边和上面的条件，其实是完全一样的。

我们改写命题，等价于证明这个经典结论：

\text{Im}\sigma^2=\text{Im}\sigma\Leftrightarrow \text{Ker}\sigma=\text{Ker}\sigma^2

必要性：

若 \exists \sigma^2(\alpha)=0,\sigma(\alpha)=\beta\ne0,

\therefore \exists \sigma^2(\gamma)=\beta,\sigma(\gamma)\in \text{Ker}\sigma^2,\sigma(\gamma)\in \text{Ker}\sigma,\beta=0.

矛盾！

充分性：

等价于证明 \text{Im}\sigma\subset\text{Im}\sigma^2。

\forall \alpha\in\text{Im}\sigma,\exists\sigma^2(\beta)=\alpha.

反证法不好描述，我们考虑构造。利用上述的唯一分解

\exists\sigma(\gamma)=\alpha,\gamma=\alpha_0+\beta_0,\alpha_0\in \text{Ker}\sigma,\beta_0\in \text{Im}\sigma. \exists\zeta,\sigma(\zeta)=\beta_0,\therefore\sigma(\gamma)=\sigma^2(\beta_0)=\alpha.

得证。