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Graphcity · 2024-12-29 23:01:44 · 个人记录

热身题

已知抛物线：y=x^2，直线 l 交抛物线于 A,B 两点。分别过 A,B 作抛物线的切线，两条切线交点为 Q。若 AQ 垂直于 BQ，求 Q 的轨迹方程。

令 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),Q(x_0,y_0)，那么两条切线的斜率分别为 2x_1,2x_2，所以有 2x_1\times 2x_2=-1，x_1x_2=-\dfrac{1}{4}。

同时有 l_{AB}: xx_0=\dfrac{1}{2}(y+y_0)，那么 A,B 一定满足 xx_0=\dfrac{1}{2}(x^2+y_0)，这是一个一元二次方程，根据韦达定理，x_1x_2=y_0=-\dfrac{1}{4}。所以 Q 的轨迹方程就是 y=-\dfrac{1}{4}。

所以我们就 \cdots\cdots 解决了？为什么这么快？

我们再来看一道热身题：

热身题 - 变式

已知抛物线：y=x^2，R 为抛物线上任意一点，作圆 W: x^2+(y-2)^2=1 的两条切线分别交抛物线于 A,B 两点。试判断直线 AB 与圆 W 的关系。

答案肯定是相切。如果不是相切就不会这样考你了

但是为什么呢？

令 R(x_0,y_0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)。

构造过 R,A 的直线。先从方程 (x-x_0)(x-x_1)=0 开始。x^2-(x_0+x_1)x+x_0x_1=0。代入 y=x^2，就可以得到 y-(x_0+x_1)x+x_0x_1=0。这个就是 l_{RA} 的方程了。

由于它与圆相切，想到点到直线的距离公式。d(W,l_{RA})=\dfrac{|x_0x_1+2|}{\sqrt{(x_0+x_1)^2+1}}=1，整理一下，就是 (x_0x_1+2)^2=(x_0+x_1)^2+1，(x_0^2-1)x_1^2+2x_0x_1+3-x_0^2=0。

注意到这个对于 x_2 也是成立的，代入 y=x^2，可以得到 (x_0^2-1)y+2x_0x+3-x_0^2=0，这个就是 l_{AB} 的方程。

再算一次点到直线的距离看看：d(W,l_{AB})=\dfrac{|2(x_0^2-1)+3-x_0^2|}{\sqrt{4x_0^2+(x_0^2-1)^2}}。为了方便，代入 y_0=x_0^2，原式等于 \dfrac{|2(y-1)+3-y|}{\sqrt{4y+(y-1)^2}}=\dfrac{y+1}{\sqrt{y^2+2y+1}}=1，成立！

所以我们就 \cdots\cdots 解决了？为什么这么快？

我们再来看一道有点难度的题目：

Test Yourself！

若椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0) 的两个焦点和两个顶点共圆，则称它为「完美椭圆」。已知 E 为「完美椭圆」，且 E 与 l_1:x+\sqrt 6y=4，l_2:x-\sqrt 6y=4 均相切。

1. 求 E 的方程。
2. 已知动点 P 在 E 的第一象限上运动，l_P 和 P 相切，和 l_1,l_2 分别交于 C,D。设右焦点为 F_1，请证明 \angle CF_1D 为定值，并求其正切值。

注意：本题在网上的答案几乎 都是错误的。

第一问是高考特色：给出一个完全没有用，用完即扔，对解题没有任何指导意义的新定义。