奇闻异事

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  1. 求证:

    -x\ln \frac1x-x^2<\frac{1-e^x}{e^x}

  2. 已知正实数 a,b 满足 a-2\ln a = 2\ln b - 4b + 4, 求 b\ln a 的值.

  3. 已知 0<b<1, 若 \displaystyle e^a+\ln b = \frac1 {b^2} - a 则

A. a> b^{-1} B.a>b^{-2} C.e^a<b^{-1} D.e^a<b^{-2}
  1. (多选) 已知实数 a,b 满足 2^a +3^b=5^a,5^b+7^a=9^b, 则
A.a>b B.a>1 C.b>1 D.a<2

  1. 已知正数 x,y 满足 x+4y=x^2y^3, 求 \displaystyle \frac 8x+\frac 1y 的最小值.

  2. 已知 \displaystyle\alpha,\beta,\gamma\in (0,\frac\pi2), 且 \cos ^2 \alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = 2, 求 \displaystyle\frac{\cos \alpha+\cos\beta+\cos\gamma}{\sin \alpha+\sin\beta+\sin\gamma} 的最小值.

  3. 若正数 x,y 满足 xy (x+2y) = 16, 求 x+y 的最小值.

  4. 求方程

    (1+x^{2018})(\sum_{i=0}^{1008}x^{2i})=2018x^{2017}

    的实根个数.

  5. 求 \sqrt{x^2-2x+10}-\sqrt{x^2-4x+5} 值域.