单位根

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学习笔记——单位根

1.定义：

数学上, n 次单位根是 n 次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正 n 边形的顶点，其中一个顶点是 1 。

确切的说，单位根指模为1的根，一般的x的n个单位根可以表示为:

## $2.$一些性质: 性质一：$n$ 次单位根的模为 $1$，即$|\varepsilon_{k} |=1$ 性质二: 两个 $n$ 次单位根$\varepsilon_{j}$与$\varepsilon_{k}$ 的乘积还是一个 $n$ 次单位根，且$\varepsilon_{j}$ $\varepsilon_{k}$ $=$ $\varepsilon_{j+k}$ 性质三: 任何一个单位根都可以写成 $\varepsilon_{1}$ 的幂，即$\varepsilon_{k}$ $=$ $\varepsilon_{1}^{k}$ 性质四: 全部单位根将复平面上单位圆 $n$ 等分。 ## $3$.分圆多项式： 我们将多项式$x^{n}-1$分解，它所分解得到的不可约多项式称为分圆多项式。事实上,分圆多项式的定义可以用以下的方式来得到： 设$\varepsilon$是$x^{n}-1=0$的一个根,即$\varepsilon$是 $n$ 次单位根，如果对任意的自然数$k<n$,$\varepsilon$都不是$x^{k}-1=0$的根，那么称$\varepsilon$为$n$次本原单位根.由所有$n$次本原单位根构成的多项式就称为$n$次分圆多项式。 实际上所有$n$次本原单位根的个数就是欧拉函数$\varphi (n)$ 。