NOIP 提高初赛 T7 解析

``` 7. 在一条长度为1 的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望长度是（ ）。 A. 1 / 2 B. 1 / 3 C. 2 / 3 D. 3 / 5 ``` 首先您需要理解**期望**是什么。 假设您买彩票，不中奖概率为$50$%，得到1元的概率为$30$%，得到$50$元的概率为$15$%，得到$1000$元的概率为$5$%，那么记 **买彩票获得的奖金** 这个事件为$A$，那么获得的奖金期望值记做$E(A)$ 那么$E(A)=0*0.5+1*0.3+50*0.15+1000*0.05=57.8$ 如您见，就是每一种可能乘上对应的概率之和 我们可以来看这道题了。 这道题要用的一点微积分的思想。**把这个线段平均分成$n$段，然后枚举左右端点，算出所有可能的值，再求平均值即可**！ 可能广大初中生并不知道怎么算，我来写一下过程吧 下面先求总长度 $\sum\limits_{i=0}^n \sum\limits_{j=0}^n \dfrac{\lvert i-j \rvert}{n}$ 考虑把第二层求和拆开 $=\sum\limits_{i=0}^n (\dfrac{\lvert i-0 \rvert}{n}+\dfrac{\lvert i-1 \rvert}{n}+...+\dfrac{\lvert i-n \rvert}{n})$ 分母相同，分子写到一起去 $=\sum\limits_{i=0}^n (\dfrac{\lvert i-0 \rvert+\lvert i-1\rvert+\lvert i-2 \rvert+...+|i-n|}{n})$ 陷入瓶颈 如果右边这一坨东西是个等差数列就好了，但事实上不是，but……我们可以找一点规律 我们以$n=4$为例子吧 |$\frac{|i-j|}{4}$ | 0 | 1 | 2 | 3 |4| | -----------: | -----------: | -----------: | -----------: | -----------: | -----------: | | 0 | $0$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{3}{4}$ | $\dfrac{4}{4}$ | | 1 | $\dfrac{1}{4}$ | $0$ | $\dfrac{1}{4}$ |$\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{3}{4}$ | | 2| $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $0$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{2}{4}$ | | 3| $\dfrac{3}{4}$ | $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $0$ | $\dfrac{1}{4}$ | | 4 | $\dfrac{4}{4}$ | $\dfrac{3}{4}$ | $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $0$ | 规律十分明显，每一行都** 以$0$为分界线拆成两个等差数列 **！于是我们可以愉快地往下面写了！ $=\sum\limits_{i=0}^n (\dfrac{(0+i)*(i+1)+(0+n-i)*(n-i+1)}{2n})$ 然后愉快的化简！ $=\sum\limits_{i=0}^n (\dfrac{i^2+i+n^2-ni+1-ni+i^2-i}{2n})$ 合并同类项 $=\sum\limits_{i=0}^n (\dfrac{2i^2-2ni+n^2+1}{2n})$ 分离常数 $=\sum\limits_{i=0}^n (\dfrac{2i^2}{2n}-\dfrac{2ni}{2n}+\dfrac{n^2+n}{2n})$ $=\sum\limits_{i=0}^n (\dfrac{i^2}{n}-i+\dfrac{n+1}{2})$ 然后可以愉快的拆开 $\sum$ 了！ $=\dfrac{0^2+1^2+2^2+3^2...+n^2}{n}-(0+1+2...+n)+\dfrac{(n+1)(n+1)}{2}$ $=\dfrac{0^2+1^2+2^2+3^2...+n^2}{n}-\dfrac{(0+n)*(n+1)}{2}+\dfrac{(n+1)^2}{2}$ 陷入瓶颈 我们被卡住关键在于$S_n=0^2+1^2+2^2+3^2...+n^2$的计算（高中不必看这一段），那么我们不如来推一推公式吧？ 怎么推公式？ ### 玄学技巧-差分 把$n\in[0,5]$的$S_n$值列成一排 $0~~~~~~~~1~~~~~~~~5~~~~~~~~14~~~~~~~~30~~~~~~~~55$ $~~~~~~~~$然后差分 $~~~~1~~~~~~~~4~~~~~~~~9~~~~~~~~16~~~~~~~~25$ $~~~~~~~~~~~~~~~~$继续 $~~~~~~~~3~~~~~~~~5~~~~~~~~7~~~~~~~~9$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$继续 $~~~~~~~~~~~~2~~~~~~~~2~~~~~~~~2$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$所有的数字竟然相等了！ 这时候我们一共做了$3$次差分操作，那么我们可以得知$S_n$公式是一个$3$次多项式！ ~~玄学吧~~ 此时设$S=ax^3+bx^2+cx+d$ $\begin{cases} a+b+c+d=1 \\ 8a+4b+2c+d=5 \\ 27a+9b+3c+d=14 \\ 64a+16b+4c+d=30\end{cases}$ 然后解方程 $\begin{cases} 7a+3b+c=4 \\ 19a+5b+c=9 \\ 37a+7b+c=16 \end{cases}$ $\begin{cases} 12a+2b=5 \\ 18a+2b=7 \end{cases}$ $6a=2~~~~~~~\therefore a=\dfrac{1}{3}$ $\therefore b=\dfrac{1}{2},c=\dfrac{1}{6},d=0$ $\therefore S_n=\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n$ 化简一下 $=\dfrac{1}{6}n(2n^2+3n+1)$ 十字相乘分解 $=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ 然后就可以愉快的往下面写了 $\dfrac{0^2+1^2+2^2+3^2...+n^2}{n}-\dfrac{(0+n)*(n+1)}{2}+\dfrac{(n+1)^2}{2}$ $=\dfrac{\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{n}-\dfrac{(0+n)*(n+1)}{2}+\dfrac{(n+1)^2}{2}$ $=\dfrac{1}{6}(n+1)(2n+1)-\dfrac{n^2+n}{2}+\dfrac{n^2+2n+1}{2}$ $=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n+1}{2}$ $=\dfrac{2n^2+3n+1}{6}+\dfrac{3n+3}{6}$ $=\dfrac{2n^2+6n+4}{6}$ $=\dfrac{n^2+3n+2}{3}$ $=\dfrac{(n+1)(n+2)}{3}$ 那么总长度算了出来，再除以情况数$(n+1)^2$ $Ans=\dfrac{(n+1)(n+2)}{3(n+1)^2}$ $=\dfrac{n+2}{3n+3}$ $=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3n+3}$ $\lim\limits_{\Delta n\to \infty}Ans=\dfrac{1}{3}$ 至此，我们做出了这道题，答案选$B$