天体运动

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万有引力定律

  1. 万有引力定律:
F=\frac{GMm}{r^2}

由于天体运动绕恒星，所以离心力大小等于引力，方向相反，所以

\frac{GMm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}
  1. 引力势能
E_p=\int \frac{GMm}{r^2}dr=-\frac{GMm}{r}
角动量守恒
L=rmv_{\theta}=Const
Const是常数的意思，有时也可能见到C（大写），也有可能是常数的意思
能量守恒
E=\frac{1}{2}m(v_r^2+v_{\theta}^2)-\frac{GMm}{r}=Const
v_{\theta}是横向速度，v_{r}是径向速度，不知道的可以看看极坐标系下的运动学描述

开普勒三定律

  1. 所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

  2. 行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。

证明：我们在行星运动过程中取一微元dt，这一段所做过的路程可视为匀速圆周运动。行星绕恒星运动过程中受到的力的方向恒指向一个点，此时，行星所受到的合力矩为零，角动量守恒。

因此，该段时间扫过的面积

ds=\pi r^2\frac{\omega dt}{2\pi}=\frac{\omega r^2dt}{2}

进一步可得

\frac{ds}{dt}=\frac{\omega r^2}{2}=\frac{L}{2m}

(m为行星质量)

由于角动量守恒，所以\frac{ds}{dt}为定值，也就是面积对时间求导值为定值。所以相等的时间间隔内扫过的面积相等。

  1. 绕以某恒星为焦点的椭圆轨道运行的行星，其各自半长轴的立方与运行周期的平方之比是一个常量,即:
\frac{a^3}{T^2}=Const

证明：设行星与椭圆几何中心的距离为c,所以:

T=\frac{S}{\frac{ds}{dt}}=\frac{\pi ab}{\frac{ds}{dt}}

万有引力势能：

E_p=-\frac{GMm}{r}

取近日点a和远日点b进行研究,，在两点间进行移动时，外力做功为零，故该天体机械能守恒，即:

\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=Const

由角动量守恒，可得：

v_ar_a=v_br_b

得：

v_a^2=\frac{2GMr_b}{(r_a+r_b)r_a}

由于是椭圆，所以:

r_a=a-c,r_b=a+c,b^2+c^2=a^2

所以：

v_a=\sqrt\frac{GMr_b}{ar_a}

因为：

\frac{ds}{dt}=\frac{\omega r^2}{2}=\frac{vr}{2}

所以:

\frac{ds}{dt}=\sqrt\frac{GMb^2}{4a}

得：

T=\sqrt\frac{4\pi^2a^3}{GM}

平方得：

\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}=Const