三角函数

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只提供公式，未提供证明，可以自行推导。

三角函数

我们对此作出定义：

正弦函数 \sin α=\dfrac{a}{c}（对边比斜边）

余弦函数 \cos α=\dfrac{b}{c} (邻边比斜边)

正切函数 \tan α=\dfrac{a}{b} (对边比邻边)

∴ \tan α=\dfrac{\sin α}{\cos α}

从这个图可以看出， \sin α=\cos (90°-α)

又根据勾股定理可以得到

\sin^2 α+\cos^2 α=1

接下来我们需要背诵一个表格（虽然我还没背完），其中，每一个度数都有其对应的正弦函数，余弦函数，正切函数。

0 \dfrac{π}{6} \dfrac{π}{4} \dfrac{π}{3} \dfrac{π}{2}
度数 0° 30° 45° 60° 90°
\sin α 0 \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2} 1
\cos α 1 \dfrac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{2} 0
\tan α 0 \dfrac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} ×
\cot α × \sqrt{3} 1 \dfrac{\sqrt{3}}{3} 0

一、和差角公式

\sin (α\pmβ)=\sin α\cos β\pm\cos α\sin β \cos (α\pmβ)=\cos α\cos β\mp\sin α\sin β \tan (α\pmβ)=\dfrac{\tan α\pm\tan β}{1\mp\tan α\tan β}

二、二倍角公式

\sin 2α=2\sin α\cos α \cos 2α=1-2\sin^2 α \tan 2α=\dfrac{2\tan α}{1-\tan^2 α}

三、半角公式

\sin α=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos 2α}{2}} \cos α=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos 2α}{2}} \tan α=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos 2α}{1+\cos 2α}}

四、万能公式

\sin α=\dfrac{2\tan \dfrac{α}{2}}{1+\tan^2\dfrac{α}{2}} \cos α=\dfrac{1-\tan^2\dfrac{α}{2}}{1+\tan^2\dfrac{α}{2}} \tan α=\dfrac{2\tan \dfrac{α}{2}}{1-\tan^2\dfrac{α}{2}}

五、降幂公式

\sin^2 α=\dfrac{(1-\cos 2α)}{2} \cos^2 α=\dfrac{(1+\cos 2α)}{2} \tan^2 α=\dfrac{(1-\cos 2α)}{(1+\cos 2α)}

六、和差化积

\sin α+\sin β=2\sin \dfrac{α+β}{2}\cos \dfrac{α-β}{2} \sin α-\sin β=2\cos \dfrac{α+β}{2}\sin \dfrac{α-β}{2} \cos α+\cos β=2\cos \dfrac{α+β}{2}\cos \dfrac{α-β}{2} \cos α-\cos β=-2\sin \dfrac{α+β}{2}\sin\dfrac{α-β}{2} \tan α+\tan β=\dfrac{\sin(α+β)}{\cosα\cosβ} \tan α-\tan β=\dfrac{\sin(α-β)}{\cosα\cosβ}

七、积化和差

\sinα\sinβ=-\dfrac{1}{2}[\cos(α+β) - \cos(α-β)] \cosα\cosβ=\dfrac{1}{2}[\cos(α+β) + \cos(α-β)] \sinα\cosβ=\dfrac{1}{2}[\sin(α+β) + \sin(α- β)] \cosα\sinβ=\dfrac{1}{2}[\sin(α+β) - \sin(α- β)]

诱导公式，启动！

\sinα=\sin(α+2kπ) \cosα=\cos(α+2kπ) \tanα=\tan(α+2kπ)

将这三个最基本的式子进行推广：

\sin-α=-\sinα \cos-α=\cosα \tan-α=-\tanα \sin(π-α)=\sinα \cos(π-α)=-\cosα \tan(π-α)=-\tanα \sin(π+α)=-\sinα \cos(π+α)=-\cosα \tan(π+α)=\tanα \sin(2π-α)=-\sinα \cos(2π-α)=\cosα \tan(2π-α)=-\tanα \sin(\dfrac{π}{2}\pmα)=\mp\cosα \cos(\dfrac{π}{2}\pmα)=\sinα \tan(\dfrac{π}{2}\pmα)=\mp\cotα

拓展

对于任意三角形中的三个角，满足

\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C

可以尝试证明

结尾

初中的三角函数到这里就结束了，多多刷题对其进行巩固。若有兴趣可以尝试高中的三角函数，也非常有意思。