有关围棋问题的研究
一只书虫仔
·
·
个人记录
\tiny\text{小声：不要拿这个出题 网上已经有答案了 只不过缺乏证明}
万恶之源：
2022 北京朝阳中考二模数学 16 题：用 15 颗黑子最多能围住多少颗子？（不借用边界，棋盘无限大）
所以研究一下：
用 n 颗黑子最多能围住多少颗白子？（不借用边界，棋盘无限大）
根本思想：斜角越多越好（这样可以用更少的黑子围更多的白子）
i. n \bmod 4=0
比较好想，按照如下的方式放置黑子：
一共有 \frac n 2-1 行有白子，是上下对称的。
对于前 \frac n 4 行，对于 i \in [1,\frac n 4]，第 i 行有 2i-1 个白子，是个等差数列，第 \frac n 4 行有 \frac n 2-1 个白子，根据等差数列求和公式有前 \frac n 4 行白子数量 S_1：
S_1=\frac{\left(1+\frac n 2-1\right)\times \frac n 4}{2}=\frac{n^2}{16}
而白子总数 S_i 即满足：
S_i=2S_1-\left(\frac n 2-1\right)=\frac{n^2} 8-\frac n 2+1
ii. n \bmod 4=3
设此时的 n 与 i 相比减了 1。
考虑去掉最底下那一个，然后左移（尽量保持原状），如下：
（有关上图，浅蓝色的为原状，划掉一个黑子后深蓝色的为当前黑子）
此时白子总数 S_{ii} 与 S_i 相比，少了后 \frac {n+1} 4 行的，即：
S_{ii}=S_i-\frac{n+1}4=\frac{n^2}8-\frac n 2+\frac 3 8
iii. n \bmod 4=2
iiii. n\bmod 4=1
这两个与 ii 相似，都是内缩，直接给出结果了：
S_{iii}=\frac {n^2}8 -\frac n 2+\frac 1 2
S_{iiii}=\frac {n^2} 8-\frac n 2+\frac 3 8
Conclusion
S=\begin{cases}\frac{n^2} 8-\frac n 2+1\ (n \bmod 4=0)\\\frac{n^2}8-\frac n 2+\frac 3 8\ (n \bmod 4=3)\\\frac {n^2}8 -\frac n 2+\frac 1 2\ (n \bmod 4=2)\\\frac {n^2} 8-\frac n 2+\frac 3 8\ (n \bmod 4=1)\end{cases}