相对论入门

cyq32ent · 2026-01-31 12:55:49 · 学习·文化课

写在前面

这一篇文章旨在简略地展示狭义相对论和广义相对论的基础知识。本文参考了《A First Course In General Relativity》。我们将止步于爱因斯坦场方程。

前置知识

基本的微积分和线性代数运算、普通物理学。在本文中，爱因斯坦求和约定将重复出现。它规定，如果一个指标在同一项中出现了两次，那么默认对它求和。例如：A_{i}B_iB_j 就是 \sum_{i}A_iB_iB_j，A_iB_iB_jC_i=\sum_i\sum_jA_iB_iB_jC_i。

一、狭义相对论

狭义相对论的基本假设为以下两点：

• 相对性原理：无法测量一个物体的绝对速度。
• 光速不变：在任何参考系下，电磁波的传播速度大小都是 c。

从上面我们知道光速在相对论中是极为重要的一个常量。因此，我们引入新的单位制：在这个单位制下，c=1。从而，时间的量纲可以表示为距离的量纲乘以 299792458。

在相对论中，我们的时空观不再是经典的欧几里得的三维空间，而是一个四维时空。于是，物体的坐标、位移等等由诸如 (t,x,y,z) 的形式描述。为了方便理解，你可以画一个时空图：横轴为 x，纵轴为 t。每一个坐标点代表一个事件。显然，一个物体相对于我们的参考系的速度就是它在时空图上的轨迹的斜率的倒数。速度变成了无量纲量。特别的，光在时空图上的轨迹的斜率总是 1。

现在考虑我们画出的时空图。假如我们定好了坐标系，在什么情况下，一个事件 \mathcal P 所在的时间为 0？考虑在 t 轴上取 (-A,0) 和 (A,0) 两点（这里把 y,z 坐标省去了），那么如果存在 A，使得一束光从 (-A,0) 出发，经过 \mathcal P，反射到了 (A,0) 点，那么 \mathcal P 就是在时间为 0 时发生的事件。所有的 \mathcal P 在时空图上连成的线就是 x 轴。因此，如果我们遇到一个新的参考系，那么我们只需要找到 t 轴，那么就能找到 x 轴。

我们先选取一个参考系 \mathcal O，另一个参考系 \mathcal{\bar O} 正在相对于它沿着 +x 方向以速度 v 移动。我们先找到新参考系的 \bar t 轴。显然，随着新参考系移动的物体在新参考系下是没有移动的，因此它的轨迹就是 \bar t 轴。然后我们按照上面的方法找到 \bar x 轴。我们发现，在原来的参考系 \mathcal O 中，新的参考系的 \bar t 轴是直线 t=x/v，\bar x 轴是直线 t=vx。

下面引入极其重要的概念：时空间隔。定义两个事件的时空间隔为 \Delta s^2=-(\Delta t)^2+(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2。根据对称性，可以证明 \Delta s^2 在任何参考系中都是一样的。

我们定义一个参考系的固有时 \tau 是在它本身中的时间。根据上面时空间隔的概念，我们有 \Delta s^2=-\Delta \tau^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-\Delta t^2，从而有 \Delta \tau=\Delta t\sqrt{1-v^2}，这就是钟慢效应。从时空间隔出发，我们可以得到洛伦兹变换：

其中 \gamma=1/\sqrt{1-v^2}。从中我们可以得到狭义相对论的速度叠加规则 v'=\frac{v_1+v_2}{1+v_1v_2}。

狭义相对论中的向量

我们定义位移矢量为 \Delta \vec x\xrightarrow[\mathcal O] {}(\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)，其中 \xrightarrow[\mathcal O]{} 代表下面的分量形式是在 \mathcal O 参考系中的。对于向量的分量，我们使用上角标表示，如 \Delta x^0 就是 \Delta x 在某一个参考系中的时间分量。

下面说明如何进行坐标系变换。显然可以经过一个线性变换：\Delta x^{\bar\alpha}=\Lambda^{\bar\alpha}_{\ \ \beta}\Delta x^\beta。注意这里第一次出现了爱因斯坦求和约定。下面定义一般向量。实际上，符合上面说到的两个性质的向量就是一般向量。

考虑向量基底。设 \vec{e_\alpha} 为 \alpha 方向上的基，那么 (\vec{e_\alpha}^\beta)=\delta_\alpha^\beta=[\alpha=\beta]，\vec{e_\alpha}=\Lambda^{\bar\beta}_{\ \ \alpha}\vec{e_{\bar\beta}}。

下面定义四速度。物体在时空图上的轨迹在某一点的切线就是它在这个时刻的固有时 \tau 方向。以这一点的位置、速度建立参考系，那么这个参考系就是一个瞬时共动参考系（MCRF）。我们在这个方向上取单位长度，那么我们就得到了四速度 \vec U。这是一个无量纲的量。那么我们可以定义四动量 \vec p=m\vec U，它的时间分量是能量，其他四个分量是动量。我们通过坐标系变换可以得到一个粒子的能量为 \frac m {\sqrt{1-v^2}}，在 v<<1 的时为 E=m+\frac12mv^2=mc^2+\frac12 mv^2，这就是我们熟知的动能和静能的表达式。

四矢量的点乘遵循以下规则：\vec A\cdot\vec B=-A^0B^0+A^1B^1+A^2B^2+A^3B^3，模长也是同理。由于我们已经知道了时空间隔在不同参考系下不变，我们可以类似的得出矢量的点乘也是与参考系无关的。特别的，\vec U\cdot\vec U=-1。

现在使用微分的语言重新描述四速度：\vec U=\mathrm d\vec x/\mathrm d \tau，以及加速度 \vec a=\mathrm d\vec U/\mathrm d\tau。在四维时空中，\vec U\cdot\vec a=0。

我们引入符号：\eta_{\alpha\beta}=\vec e_\alpha\cdot\vec e_\beta=\left\{\begin{matrix} 0 & \alpha\neq\beta\\\ -1 &\alpha=\beta=0 \\ 1 &\alpha=\beta\neq0 \end{matrix}\right.。从而，\vec A\cdot\vec B=A^\alpha B^\beta \eta_{\alpha\beta}。接下来我们会常用到这个记号。

狭义相对论中的张量

接下来我们要接触一个全新的概念。我们先从 0\choose N 型张量开始。一个 0\choose N 型张量 T 将 N 个向量映射到一个实数，而且它是线性的函数，结果和参考系无关。这意味着 aT(\vec A,\cdots)+bT(\vec B,\cdots)=T(a\vec A+b\vec B,\cdots)。特别的，g(\vec A,\vec B)=\vec A\cdot\vec B 是度规张量。这个张量在某个参考系中的参数，就是把参考系相应的向量基输入到张量后得到的实数。例如，T_{\alpha\beta\gamma}=T(\vec e_\alpha,\vec e_\beta,\vec e_\gamma)。

特别地，一个 0\choose 1 张量叫做一个一次形式，或者叫协变向量，我们用 \tilde p 表示。它的加减法、和实数的积的运算和向量是一样的。可以得到它的参考系变换方式 p_{\bar\beta}=\Lambda^\alpha_{\ \ \bar\beta}p_\alpha。这和向量基的变换方式相同。我们可以仿照向量的方式，定义一次形式基 \tilde \omega^\alpha 满足 \tilde p=p_{\alpha} \tilde \omega^\alpha。可以得到变换方式 \tilde \omega^{\bar\alpha}=\Lambda^{\bar\alpha}_{\ \ \beta}\tilde \omega^\beta。这和向量的变换方式是相同的，而和向量基的变换方式是相反的。

事实上，标量场的梯度是一次形式。考虑沿着轨迹移动的粒子，和一个标量场 \phi，我们可以得到

这是一次形式的形式。我们定义符号 \tilde df=\frac{\partial f}{\partial x^\alpha}\tilde\omega^\alpha。更重要的一个符号是 \phi_{,\alpha}=\frac{\partial \phi}{\partial x^\alpha}。

接下来就可以讨论更高阶的张量了。两个一次形式的外积 (\tilde p\otimes\tilde q)(\vec A,\vec B)=\tilde p(\vec A)\tilde q(\vec B)，多个一次形式的外积同理。f_{\alpha\beta}=f_{\beta\alpha} 时，0\choose2 张量 f 是对称的。如果等式右面加个负号，那么就是反对称的。由于向量点积满足交换律，度规张量是对称的。

度规张量提供一次形式与向量之间的映射 \tilde V(\ \ ):=g(\vec V,\ \ )。一次形式的模长为其对应的向量的模长，一次形式的点积可以由模长定义，如 \tilde p\cdot\tilde q=\frac12((\tilde p+\tilde q)^2-\tilde p^2-\tilde q^2)。

向量可以视作一次形式的线性函数，它将一次形式映射到实数：\vec V(\tilde p):=\tilde p(\vec V)。向量是一个 1\choose 0 张量。我们可以用符号 \langle \tilde p,\vec V\rangle 表示它。

最终，我们可以定义 M\choose N 张量。这是将 M 个一次形式和 N 个向量映射到实数的线性函数。对于参考系变换，它的上指标是逆变的，下指标是协变的，比如 R^{\bar\alpha}_{\ \ \bar\beta}=\Lambda^{\bar\alpha}_{\ \ \mu}\Lambda^{\nu}_{\ \ \bar\beta}R^\mu_{\ \ \nu}。

我们可以把上面提到的一些运算推广到所有的张量。一个度规可以把 N\choose M 张量映射到 N-1\choose M+1 张量，例如：T^{\alpha}_{\ \ \beta\gamma}=\eta_{\beta\mu}T^{\alpha\mu}_{\ \ \ \ \ \gamma}。其中，\eta_{\alpha\beta} 是度规张量的参数，它的逆是 \eta^{\alpha\beta}。因此，度规张量可以用来抬升或降下任何一个张量的指标。

标量场 \phi 是一个标量，因此是 0\choose 0 张量。它的梯度是一个 0\choose 1 张量。同理，一个 N\choose M 张量的梯度时候一个 N\choose M+1 张量，我们记作 \nabla T。举一个例子，如果 T 的参数为 T^\alpha_{\ \ \beta}，那么 \nabla T=(T^{\alpha}_{\ \ \beta,\gamma}\tilde\omega^\beta\otimes\tilde\omega^\gamma\otimes\vec e_\alpha)。如果一个固有时为 \tau 的轨迹的在某一点的四速度为 U，那么有 \nabla_U T:=\frac{\mathrm d T}{\mathrm d \tau}。

狭义相对论流体

我们用 \vec U 表示流体元的四速度，n 表示在流体元的 MCRF 中流体粒子的数密度，\vec N:=n\vec U 表示流密度矢量，m 表示每一个流体粒子的质量，\rho_0:=mn 代表在 MCRF 中的能量密度，\rho 为某个参考系观察到的流体的能量密度，p 为压强。容易发现 \vec N 的时间分量就是它的数密度，三个空间分量就是它分别在三个方向上的通量。

一个曲面可以由标量场的方程 \phi(\vec x)=\mathrm{Const} 定义。在某一点，它的法向就是梯度的方向。那么，我们可以定义单位法向一次形式为 \vec n=\tilde{\mathrm{d}}\phi/|\tilde{\mathrm{d}}\phi|。那么，对于一个曲面上的某一个点，流体的通量就是 \langle \tilde n,\vec N\rangle。

接下来引入应力-能量张量。T^{\alpha\beta} 的定义为：在这一点的 x^\beta=\mathrm{Const} 曲面上，p_\alpha 的通量。在流体的 MCRF 中，T^{00} 就是能量密度 \rho，T^{0i}=T^{i0} 为动量密度，T^{ij}=T^{ji} 为动量通量，即应力。其中，i,j\in\{1,2,3\}。

能量守恒或动量守恒可以表示为：T^{\alpha\beta}_{\ \ \ \ \ ,\beta}=0，粒子守恒可以表示为：N^{\alpha}_{\ \ ,\alpha}=0。在此基础上可以使用高斯定理 \int V^\alpha_{\ \ ,\alpha}\mathrm d^4 x=\oint V^\alpha n_\alpha d^3 S。

弯曲的时空

上面我们已经构建了狭义相对论的基本图景。然而，如果我们考虑引力场，那么我们会发现地球附近的时空并不是平直的。考虑静能量 E=m 的粒子从高度为 h 处落下，在地面转变为动能为 E'=m+mgh+\mathcal O(v^4) 的光子，然后反射回原来的点，再次变成粒子。由于能量守恒，最后的粒子的静质量必须为 E''=m，这说明光子在引力场中，能量有衰减。

根据等效原理，均匀的引力场与非匀速参考系等效。但是一般来说，引力场并不是匀强的，这带来了潮汐力。但是，我们依然可以在某一点建立局部的惯性系。

我们考虑新的坐标 \{x^{\alpha'}\}。例如，在二维欧几里得空间中，(r,\theta) 是一组新的坐标。更一般地，对于新的坐标 (\xi,\eta)，我们有 \Delta\xi=\partial_x\xi\Delta x+\partial_y\xi\Delta y,\Delta\eta=\partial_x\eta\Delta x+\partial_y\eta\Delta y，其中 \partial_a b=\frac{\partial b}{\partial a}。对于这组坐标的要求是满秩，即 \begin{vmatrix} \partial_x\xi &\partial_y\xi \\ \partial_x\eta &\partial_x\eta \end{vmatrix}\neq 0。如果我们令 \Lambda=\begin{pmatrix} \partial_x\xi &\partial_y\xi \\ \partial_x\eta &\partial_x\eta \end{pmatrix}，那么依然有 V^{\alpha'}=\Lambda^{\alpha'}_{\ \ \beta}V^\beta。一次形式、基底的变换形式也被保留。

相比于笛卡尔坐标系，新的坐标系中的基底和度规都不一定是常量。例如，二维极坐标系具有度规 g=\begin{pmatrix} 1 & \\ &r^2 \end{pmatrix}。因此，我们应该定义新的导数运算。

我们定义协变导数

在笛卡尔坐标系中，右面这一项是 0，所以我们之前没有考虑右面一项。如果去掉了右面一项，那么这个向量依然是 \vec V_{,\beta}。我们把协变导数用符号 \vec V_{;\beta} 表示。

一个重要的记号是克里斯托弗记号

于是协变导数满足 V^\alpha_{\ \ \ ;\beta}=\frac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta}+V^\mu\Gamma^\alpha_{\ \ \mu\beta}=V^\alpha_{\ \ \ ,\beta}+V^\mu\Gamma^\alpha_{\ \ \mu\beta}。我们可以将其记作 (\nabla_\beta V)^\alpha。

我们可以把它推广到标量和张量的协变导数。对于一个标量 f，它的协变导数依然为 f_{;\alpha}=f_{,\alpha}。对于一个 M\choose N 张量，它的协变导数等于普通的导数加上克里斯托弗记号的修正项，其中每个逆变指标得到一个正的项，每个协变指标得到一个负的项，例如：

克里斯托弗记号可以通过度规来计算

同时，它有对称性 \Gamma^{\mu}_{\ \ \alpha\beta}=\Gamma^{\mu}_{\ \ \beta\alpha}。

弯曲的流形

对于流形的定义，这里给出一个简化的表述：流形是任何可以连续地参数化的集合。在这里，我们只考虑可微的流形。我们先复习一下张量的运算：

• 张量是线性的、对于若干个一次形式和实数运算符号，其运算结果是实数。
• 在同意坐标系中含有相同参数的张量是相同的。
• 张量可以乘以一个标量（场），得到一个相同类型的张量。
• 相同类型的张量相加得到相同类型的新张量。
• 张量的外积。
• 张量进行协变导数运算，得到一个新张量，其协变指标加一。
• 张量进行缩并运算，得到一个新张量，其协变指标和逆变指标各减一。（缩并运算，即取一个协变指标和一个逆变指标，令它们相等并求和，如 T^\alpha_{\ \ \alpha\beta}。）
• 如果一个张量方程（包含以上的合法的运算）在一个坐标系中成立，那么它在任何坐标系中都成立。这一点很重要。

我们的讨论局限于黎曼流形，即选取了一个 0\choose 2 张量场 g 作为度规的流形。根据线性代数，我们总是可以选择一个坐标系变换 \Lambda，使得在新坐标系中，g 是对角矩阵，而且元素在 \{-1,0,1\} 中。在广义相对论中，这个新的坐标系下，有三个 +1 和一个 -1。于是我们可以选择 (g_{\alpha'\beta'})=\begin{pmatrix} -1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & &1 \end{pmatrix}。我们定义 \eta_{\alpha\beta} 为右面的矩阵，无论坐标系是什么。

选择了流形中的任意一个点 \mathcal P，我们可以找到这样一个坐标系，使得在这一点附近，g_{\alpha\beta}(x^\mu)=\eta_{\alpha\beta}+\mathcal O((x^\mu)^2) 。满足这个条件的坐标系被称作局部惯性系。注意，在这里，对度规求导等于 0，但是对度规求二阶导不为 0。

下面讨论流形上曲线的体积元。我们知道 \mathrm d V=\mathrm dx^0\mathrm dx^1\mathrm dx^2\mathrm dx^3=\det(\Lambda)\mathrm dx^{0'}\mathrm dx^{1'}\mathrm dx^{2'}\mathrm dx^{3'}。由于相似变换 (g)=(\Lambda)(\eta)(\Lambda)，所以 \det g=\det \Lambda\cdot\det\eta\cdot\det\Lambda^{\mathrm T}=-(\det\Lambda)^2。因此，我们可以定义固有体积元 \mathrm d^4 x=\sqrt{-g}\mathrm dx^{0'}\mathrm dx^{1'}\mathrm dx^{2'}\mathrm dx^{3'}，其中 g:=\det g。

考虑一个向量场的协变散度。我们有 V^\alpha_{\ \ ;\alpha}=V^\alpha_{\ \ ,\alpha}+\Gamma^{\alpha}_{\ \ \mu\alpha}。通过一些计算，可以发现它为 V^\alpha_{\ \ ,\alpha}+\frac1{\sqrt{-g}}V^\alpha(\sqrt{-g})_{,\alpha}=\frac{1}{\sqrt{-g}}(\sqrt{-g}V^\alpha)_{,\alpha}。协变散度不随坐标系改变。

在某一点 \mathcal P 的局部惯性系中，在 \mathcal P 点处的克里斯托弗记号为 0，所以此时普通导数 T_{,\alpha} 和协变导数 T_{;\alpha} 等价。因此，我们可以将之前遇到的关于普通导数的定理直接写成协变导数形式，然后认为它在所有坐标系下成立。

接下来，我们可以推广高斯定理。对固有体积元积分，我们有

接下来介绍曲率的概念。一个流形可以有内禀曲率和外曲率。外曲率并不影响流形上的几何，例如一个圆柱面上的几何依然符合经典的欧氏几何规则。因此我们要着重讨论的是内禀曲率：例如，一个球面就具有内禀曲率，在球面上垂直于同一条直线的两条不同直线会相交。我们可以通过向量的平行移动来描述这一点。

一个向量在曲线上平行移动，意味着这个向量场 \vec V 满足：在曲线上的每一点都有 \frac{\mathrm d V^\alpha}{\mathrm d\lambda}=U^\beta V^\alpha_{\ \ \ ;\beta}=0，其中 \vec U 为曲线切向量。我们也可以记作 \nabla_{\vec U}\vec V=0。特别地，如果一条曲线延着自己的切向量一直延伸，那么就得到了测地线，其满足方程 \nabla_{\vec U}\vec U=0。测地线是两点之间的最值距离。例如，在平直空间中，测地线是直线。

通过平行移动描述流形曲率的方式如下：考虑一个闭合的路径 (a,b)\rightarrow(a+\delta a,b)\rightarrow(a+\delta a,b+\delta b)\rightarrow (a,b+\delta b)\rightarrow (a,b)，其中 \delta a 和 \delta b 很小，且 (a,b) 分别是 \sigma,\lambda 方向上的分量。根据上面平行移动的定义，可以得到整个过程结束后，矢量 \vec V 的变化量（保留到一阶）为 \delta V^\alpha=\delta a\delta b(\Gamma^{\alpha}_{\ \ \mu\sigma,\lambda}-\Gamma^{\alpha}_{\ \ \mu\lambda,\sigma}+\Gamma^\alpha_{\ \ \nu\lambda}\Gamma^{\nu}_{\ \ \mu\sigma}-\Gamma^\alpha_{\ \ \nu\sigma}\Gamma^{\nu}_{\ \ \mu\lambda})。我们定义黎曼张量 R^\alpha_{\ \ \beta\mu\nu}=\Gamma^{\alpha}_{\ \ βν,μ}-\Gamma^{\alpha}_{\ \ βμ,ν}+\Gamma^\alpha_{\ \ σμ}\Gamma^{σ}_{\ \ βν}-\Gamma^\alpha_{\ \ σν}\Gamma^{σ}_{\ \ βμ} 为描述曲率的张量。

在局部惯性系中，黎曼张量涉及对度规的二阶导，所以不一定为 0。在局部惯性系中展开克里斯托弗记号，然后降下指标，得到 R_{\alpha\beta\mu\nu}=\frac12(g_{\alpha\nu,\beta\mu}-g_{\alpha\mu,\beta\nu}+g_{\beta\mu,\alpha\nu}-g_{\beta\nu,\alpha\mu})。可以发现有以下对称性：R_{\alpha\beta\mu\nu}=-R_{\beta\alpha\mu\nu}=-R_{\alpha\beta\nu\mu}，以及 R_{\alpha\beta\mu\nu}+R_{\alpha\nu\beta\mu}+R_{\alpha\mu\nu\beta}=0。因此，R 虽然有 4^4=256 个参数，却只有 20 个自由度。这一对称性在所有坐标下有效。

在局部惯性系中，黎曼张量和对易子有关：[\nabla_\alpha,\nabla_ \beta]V^\mu:=\nabla_\alpha\nabla_\beta V^\mu-\nabla_\beta\nabla_\alpha V^\mu=(\Gamma^\mu_{\ \ \nu\beta,\alpha}-\Gamma^\mu_{\ \ \nu\alpha,\beta})V^\mu=R^\mu_{\ \ \nu\alpha\beta}V^\nu。这是一个有效的张量方程，因此在任意坐标系下成立。

此外，由于在局部惯性系下有 g_{\alpha\beta,\mu}=0，g_{\alpha\beta;\mu}=0 在任意坐标系下成立。

在局部惯性系下，我们可以得到 R_{\alpha\beta\mu\nu,\lambda}+R_{\alpha\beta\lambda\mu,\nu}+R_{\alpha\beta\nu\lambda,\mu}=0，因此在任意坐标系下有 R_{\alpha\beta\mu\nu;\lambda}+R_{\alpha\beta\lambda\mu;\nu}+R_{\alpha\beta\nu\lambda;\mu}=0。这被称作比安基恒等式。如果我们缩并黎曼张量的指标，得到里奇张量 R_{\alpha\beta}:=R^\mu_{\ \ \alpha\mu\beta}（这是一个对称张量），因此在比安基恒等式里乘上一个 g^{\alpha\mu} 后，我们可以得到缩并后的比安基恒等式 R_{\beta\nu;\lambda}-R_{\beta\lambda;\nu}+R^\mu_{\ \ \beta\nu\lambda;\mu}=0。再次缩并里奇张量，我们得到里奇标量 R:=R^\alpha_{\ \ \alpha}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}。在缩并后的比安基恒等式前乘上一个 g^{\beta\nu} 后，我们可以得到两次缩并后的比安基恒等式：(2R^\mu_{\ \ \lambda}-\delta^\mu_{\ \ \lambda}R)_{;\mu}=0。

定义爱因斯坦张量 G^{\alpha\beta}:=R^{\alpha\beta}-\frac12 g^{\alpha\beta} R，则两次缩并后的比安基恒等式为 G^{\alpha\beta}_{\ \ \ \ \ ;\beta}=0。

弯曲时空的物理

在经典力学中，如果没有外力（或者说，这个粒子是自由下落的），粒子匀速直线运动。但是在弯曲的时空中，无从定义直线。如果延伸这一概念，那么根据测地线定义，粒子将延着测地线运动。这就是广义相对论解释引力的方式。相应的，有弱等效原理：自由下落的参考系等效于一个洛伦兹时空。

在略微弯曲的时空 \mathrm d s^2=-(1+2\phi)\mathrm d t^2+(1-2\phi)(\mathrm d x^2+\mathrm d y^2+\mathrm d z^2) 中可以根据测地线方程推出牛顿力学的一些结论。

爱因斯坦场方程

为了满足张量代数的性质、能量-动量守恒以及比安基不等式，我们得到度规张量和应力-能量张量的关系

接下来我们讨论弱场情况下的场方程。弱场近似下，g_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\beta}+h_{\alpha\beta}，其中 h 很小。考虑一组新坐标 x^{\alpha'}=x^\alpha+\xi^\alpha(x^\beta)，其中 \xi 很小。那么我们有 h_{\alpha'\beta'}=h_{\alpha\beta}-\xi_{\alpha,\beta}-\xi_{\beta,\alpha}。我们可以用 h 来表示黎曼张量和爱因斯坦张量：R_{\alpha\beta\mu\nu}=\frac12(h_{\alpha\nu,\beta\mu}-h_{\alpha\mu,\beta\nu}+h_{\beta\mu,\alpha\nu}-h_{\beta\nu,\alpha\mu})，以及 G_{\alpha\beta}=-\frac12(\bar h_{\alpha\beta,\mu}^{\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\mu}-\bar h_{\alpha\mu,\beta}^{\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\mu}-\bar h_{\beta\mu,\alpha}^{\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\mu}+\eta_{\alpha\beta}\bar h_{\mu\nu}^{\ \ \ \ \ ,\mu\nu})，其中 \bar h_{\alpha\beta}:=h_{\alpha\beta}-\frac12\eta_{\alpha\beta}h, h:=h^\alpha_{\ \ \alpha}。约化后的 \bar h 满足 \bar h^\alpha_{\ \ \alpha}=-h，以及 \bar h_{\mu\nu}^{(\mathrm NEW)}=\bar h_{\mu\nu}^{(\mathrm OLD)}-\xi_{\mu,\nu}-\xi_{\nu,\mu}+\eta_{\mu\nu}\xi^\alpha_{\ \ \ ,\alpha}，和 \bar h_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\nu}^{(\mathrm NEW)\mu\nu}=\bar h_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\nu}^{(\mathrm OLD)\mu\nu}-\xi^{\mu,\nu}_{\ \ \ \ \ \ ,\nu}。其中，NEW 与 OLD 分别表示 坐标变换后与变换前。

我们可以找到一个 \xi，满足变换后的 \bar h^{\mu\nu}_{\ \ \ \ ,\nu}=0。这意味着 \bar h_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\nu}^{(\mathrm OLD)\mu\nu}=\xi^{\mu,\nu}_{\ \ \ \ \ \ ,\nu}。我们定义右式为 \square \xi^\mu，其中 \square:=(-\partial^2/\partial t^2+\nabla^2) 为四维拉普拉斯算子，或称波算子或达朗贝尔算子。任何满足条件的 \xi 的线性叠加就是 \xi 的通解。在这个条件下，G_{\alpha\beta}=-\frac12\square\bar h_{\alpha\beta}，故 \square\bar h_{\alpha\beta}=-16\pi T_{\mu\nu}。

在牛顿力学中，我们只要考虑 \square \bar h_{00}=-16\pi\rho 一项。由于 \partial/\partial t 和 v\partial/\partial x 的量级相同，而我们目前考虑低速下的物理学，我们可以忽略掉 \square 中的时间项。于是我们得到 \nabla^2 \bar h_{00}=-16\pi\rho，与牛顿力学中的引力势方程 \nabla^2\phi=4\pi\rho 形式相同。于是我们得到 \bar h_{00}=-4\phi，得到了弱场近似下的度规 \mathrm d s^2=-(1+2\phi)\mathrm d t^2+(1-2\phi)(\mathrm d x^2+\mathrm d y^2+\mathrm d z^2)。这一近似在远场情况下也成立。

至此，我们初步而大体地构建了广义相对论的基本图景。