棣莫弗的滥用

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准确地讲，其实是单位根的妙用。

考虑下题：求 \cos72\degree-\cos36\degree。

解：令 10 次单位根为 \omega，则答案显然是 \real(\omega^2-\omega)。

注意到令 z=\omega^2-\omega 有

z^4+2z^3+4z^2+3z+1=0

这是一个整系数的方程，理应拥有两对虚根，对应十次单位根取 \omega,\omega^3,\omega^7,\omega^9，显然只需要把其中一对虚根拿出来。

做因式分解：

(z^2+z+\frac{3+\sqrt5}2)(z^2+z+\frac{3-\sqrt5}2)=0

无论取哪一个二次方程，都可以得到 \real z=-\frac12。

然而，你可能会说，如果巧妙地对式子做变换，实际上可以用 5 次单位根解决问题。的确如此，但得到的方程没有本质上的区别。

问题在于，为什么是四次方程？你说这是因为 \varphi(10)=4。正确。

那么，反向思考下，怎么从这个方向出题。

你告诉我，出题都喜欢 10\degree 的倍数，因为整齐容易计算。

实际上，的确可以出到 18 次单位根，也就是 20\degree 的倍数。

第一，\varphi(18)=6，第二，出题不会用虚数的答案，因此可以直接通过变换的方法将六次方程转变为三次方程，然后就可以解开了。

怎么做呢？以上面为例，注意到上面图方便采用的是 \real(\omega^2-\omega)，但实际上可以表示为 \frac12(\omega^2+\omega^8-\omega-\omega^9)。这时候再写四次方程就会发现出现重根，所以开方后就直接转变为二次方程。

这样就可以随心所欲地出 18 次单位根的题了。

你说解三次方程不在高中范围考纲？

并非只有 18 次能出，其实只要凑出来的方程次数不高都能出。

例：\sin\frac{2\pi}{11}+\sin\frac{6\pi}{11}+\sin\frac{8\pi}{11}+\sin\frac{10\pi}{11}+\sin\frac{18\pi}{11}。

解：过程略，=\frac{\sqrt{11}}2。

例：\cos\frac{2\pi}{13}+\cos\frac{6\pi}{13}+\cos\frac{8\pi}{13}。

解：过程略，=\frac{\sqrt{13}-1}4。

例：\cos\frac{8\pi}{13}+\cos\frac{12\pi}{13}，\cos\frac{2\pi}{13}+\cos\frac{10\pi}{13}，\cos\frac{4\pi}{13}+\cos\frac{6\pi}{13}。

解：过程略，总之是方程 z^3+z^2-4z+1=0 的根乘以 \frac12。