abc221G Jumping sequence

· · 题解

首先，我们将平面旋转 45 度，则目标为 (X+Y, X-Y)。然后，每个方向上的跳跃就可以写成 (\pm D_i, \pm D_i)（任意正负号）。

因此，问题为将 s_i 和 s'_i 赋值为 +1 或 -1，从而使：

\displaystyle\sum_{i=1}^Ns_iD_i=A+B\quad\text{and} \quad \displaystyle\sum_{i=1}^Ns'_iD_i=A-B

此外，定义 S=\displaystyle\sum_{i=1}^ND_i，则问题进一步变为将 t_i 和 t'_i 赋值为 0 或 1，使得：

\displaystyle\sum_{i=1}^Nt_iD_i=\frac{S+A+B}{2}\quad\text{and} \quad \displaystyle\sum_{i=1}^Nt'_iD_i=\frac{S+A-B}{2}

如果其中一个等式的右边是负数、大于 S 或者不是整数，那么显然是无法实现的。

否则，可以用动态编程（DP）来解决这个问题，其中：

\\otherwise &0 \end{matrix}\right.

但要注意的是，我们需要计算约 NS 次，因此我们必须通过 bitset 来适当加快速度。但天真地认为，我们必须在这个过程中存储所有的 bitset 序列。然而，这需要的空间复杂度是 NS\leq 2000\times (1800\times 2000)=7.2\times 10^9 比特（=900MB），符合约束条件的范围。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int long long
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef vector<int> VI;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const ll MOD=998244353;
// head

int main() 
{
    cin.tie(nullptr);
    ios::sync_with_stdio(false);

    bitset<3600001> dp[2001];
    char op[4]={'L','U','D','R'};
    int d[2000];
    int m[2];

    int n,x,y;cin>>n>>x>>y;
    int sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++) {cin>>d[i];sum+=d[i];}
    m[0]=x+y,m[1]=x-y;
    bool flag=true;
    for(int i=0;i<2;i++) if(abs(m[i])>sum) flag=false;
    for(int i=0;i<2;i++) if((m[i]+sum)%2!=0) flag=false;
    if(!flag) {cout<<"No"<<endl;return 0;}
    for(int i=0;i<2;i++) m[i]=(m[i]+sum)/2;
    dp[0][0]=1;
    for(int i=0;i<2000;i++) dp[i+1]=dp[i]|(dp[i]<<d[i]);
    if((!dp[n][m[0]])||(!dp[n][m[1]])) {cout<<"No"<<endl;return 0;}
    string ans;
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        sum=0;
        for(int j=0;j<2;j++){
            if(!dp[i][m[j]]){
                m[j]-=d[i];
                sum+=(1<<j);
            }
        }
        ans=op[sum]+ans;
    }
    cout<<"Yes"<<endl;
    cout<<ans<<endl;
}