【数学】矩阵行列式
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- 借鉴。
行列式
- 对于方阵，每一行挑一个数乘起来，用逆序对个数的奇偶性表示贡献的正负，就得到了行列式。
\text{det} A=\sum_{P}(-1)^{c(P)}\prod_{i=1}^na(i,p_i) - 按照定义，我们就有了
O(n!\cdot n) 的优秀方法来计算行列式了。 - 想要更快地计算需要发掘一些性质。
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- 交换矩阵的两行，行列式变号：对于任何一个排列，交换任意两个数，逆序对奇偶性一定改变。
- 某一行乘以
t ，行列式乘以t ：任何一行选一个数。 - 如果两个矩阵其它行都相同，那么将不同的那行分别相加得到的新矩阵行列式大小恰好为两个矩阵行列式之和：可以用乘法分配律理解。
- 有两行一样的矩阵，其行列式为
0 ：交换这两行，行列式必须变为原来的相反数，但又必须不变，所以必须为0 。 - 用矩阵的一行加上另一行的倍数，行列式不变：
图穷匕见相当于构造一个两行相等的矩阵，再在不等的那行乘上倍数，再相加，用之前的定理可以证明正确。 - 因此我们有
O(n^3) 求行列式的方法：对行列式进行高斯消元，如果成功消元，容易求出行列式，否则一定是矩阵的某两行线性相关，由之前的知识可得行列式为0 。 - 那么，行列式有什么用处呢？