12-12 数分好难3
huangzirui
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个人记录
\newcommand{\ve}{\varepsilon}
证明：
对 p\ge 1，存在只和 p 有关的常数 c_p，使得：
|1+x|^p \ge 1+px + c_p\varphi_p(x)
若 1<p\le 2 且 |x|\le 1，\varphi_p(x)=|x|^2。
否则 \varphi_p(x)=|x|^p
设 f(x)=(1+x)^p-1-px-c_p\varphi_p(x)
先 x\ge 0。
令 p > 2。
这时 f(x)=(1+x)^p-1-px-c_px^p
f'(x)=p(1+x)^{p-1}-p-pc_px^{p-1}\\
f''(x)=p(p-1)(1+x)^{p-2}-p(p-1)c_px^{p-2}\\
=p(p-1)((1+x)^{p-2}-c_px^{p-2})
令 c_p < 1 就有 f''(x)>0 成立，又有 f'(0)=0 即得 f 单增。
再考虑 $p \le 2$ 时：
设此时 $x \in [0,1]$，则 $f(x)=(1+x)^p-1-px-c_px^2
泰勒展开有 (1+x)^p = 1 + px + \dfrac{p(p-1)(1+\ve)^{p-2}}{2}x^2。
这里 (1+\ve)^{p-2}>(1+1)^{p-2}。取 c_p=2^{p-3} 即可。
最后考虑 x > 1 时。
f(x)=(1+x)^p-1-px-c_px^p
f'(x)=p(1+x)^{p-1}-p-pc_px^{p-1}\\
f''(x)=p(p-1)(1+x)^{p-2}-p(p-1)c_px^{p-2}\\
=p(p-1)((1+x)^{p-2}-c_px^{p-2})\\
\ge p(p-1)((2x)^{p-2}-c_px^{p-2})\\
\ge p(p-1)x^{p-2}(2^{p-2}-c_p)\\
取 c_p < 2^{p-2}，类似可知成立。
现在考虑 x<0 的情况。
若 x \in [-1,0]，有：
当 p\ge 2：
|1+x|^p=(1+x)(1+x)^{p-1}\ge (1+x)(1+(p-1)x)\\
=1+px+(p-1)x^2
当 p\in [1,2)：
|1+x|^p= 1 + px + \dfrac{p(p-1)(1+\ve)^{p-2}}{2}x^2\\
\ge 1+px+\dfrac{p(p-1)}{2}x^2
考虑 x < -1。
令 t=-x>1。
设 f(t)=(t-1)^p-1+pt-c_pt^p，我们想说明总有 f(t)\ge 0。
f'(t)=p(t-1)^{p-1}+p-pc_pt^{p-1}\\
f''(t)=p(p-1)(t-1)^{p-2}-p(p-1)c_pt^{p-2}\\
=p(p-1)((t-1)^{p-2}-c_pt^{p-2})
当 p\in[1,2)，就有：
p(p-1)((t-1)^{p-2}-c_pt^{p-2})\\
\ge p(p-1)(t^{p-2}-c_pt^{p-2})\ge 0
只需取 c_p<1。
再考虑 p\ge 2。
（后面完全看不懂为什么要这样做了。太莫名其妙了。有懂的人可以告诉彩笔博主）
(-x)^p = (1+(-1-x))^p \le \dfrac{(2^p+2^p(-1-x)^p)}{2}=2^{p-1}(1+(-1-x)^p)
于是 (-1-x)^p \ge 2^{1-p}|x|^p-1\ge 1+px+2^{1-p}|x|^p。
取 c_p=2^{1-p}。