代数学方法(1)：同态和商群
Gorenstein
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个人记录
4.1~4.2.
商结构
\bf Definition\;1.
- 设 G 为群，E\subset G 为任意子集，定义
\langle E\rangle=\bigcap_{E\subset H\subset G}H
为 E 生成的子群，其中 H 是子群。其中的元素是由 E 的元素出发通过乘法及求逆所能得到的所有元素。当 E=\{x\} 为独点集时，记
\langle x\rangle:=\langle\{x\}\rangle=\{x^n:n\in\mathbb Z\}.
称元素 x\in G 的阶为 \operatorname{ord}(x):=|\langle x\rangle|。
- 若群 G 中存在元素 x 使得 G=\langle x\rangle，则称 G 是循环群。
- 设 G 为群，N 为其正规子群，定义
xN\cdot yN=xyN,\quad xy\in G.
这般运算给出的群同态
\begin{aligned}
\pi:G&\longrightarrow G/N,\\
x&\longmapsto xN
\end{aligned}
称为商同态，它总是满的，且 \operatorname{ker}(\pi)=N。
- 设 R 为环，S\subset R 为任一子集， S 生成的理想是
I_S=\left\{\sum_{i=1}^nr_is_i\;:\;r_i\in R,s_i\in S\right\}=\bigcup_{S\subset I}I.
- 设 I 为 R 的理想，则赋予加法群 R/I 乘法运算
(r+I)\cdot(s+I):=(rs+I),\qquad r,s\in R,
这般给出的环同态 R\twoheadrightarrow R/I 称为商同态。
同态基本定理
$\bf Lemma.\quad$设 $\varphi:M\to M'$ 是满同态，定义 $x\sim y\iff\varphi(x)=\varphi(y)$，则诱导同态 $\overline\varphi:(M/\sim)\to M'$ 是同构。
$Proof\quad$因 $\varphi$ 是满的，故从 $\sim$ 的定义知其为同构。$\square
由此可以给出群和环的同态基本定理。
$$
\operatorname{im}(\varphi)\sim G/\ker(\varphi).
$$
${Proof.\quad}\overline\varphi$ 的唯一取法是 $\overline\varphi(x\ker(\varphi))=\varphi(x)$，同构一望可知。$\square
于是
\begin{aligned}
G_1&\,\sim \,G_1/\ker(\varphi)&\!\!\!\sim\,\operatorname{im}(\varphi)\\
g&\mapsto \;\,g\cdot\ker(\varphi)&\!\!\!\mapsto\varphi(g).\,\,
\end{aligned}
$$
\operatorname{im}(\varphi)\sim R/\ker(\varphi).
$$
$Proof.\quad$显然 $\ker(\varphi)$ 为理想，同构的证明与群大同小异。$\square
第一同构定理 循环群
$$
\begin{aligned}
\{H_2\subset G_2\}&\xleftrightarrow{1:1}\{H_1\subset G_1:\ker\varphi\subset H_1\}\\
H_2&\longmapsto\varphi^{-1}(H_2)\\
\varphi(H_1)&\longleftarrow H_1,
\end{aligned}
$$
特别地，若限定了 $H_1,H_2$ 都是正规子群，该定理也成立。此双射满足 $H_2\subset H_2'\iff\varphi^{-1}(H_2)\subset\varphi^{-1}(H_2')$；且合成态射 $G_1\xrightarrow{\varphi}G_2\twoheadrightarrow G_2/H_2$ 诱导出同构
$$
G_1/\varphi^{-1}(H_2)\sim G_2/H_2.
$$
当 $\varphi$ 是商同态 $G\twoheadrightarrow G/N$ 时，断言的同构是习见的
$$
G/H\sim(G/N)/(H/N),
$$
其中 $N\subset H,\,N\lhd G,\,H\lhd G$；这是因为 $\varphi^{-1}(H/N)=H$。这就是常说的**第一同构定理**。
$Proof.\quad$子群 $H_1\supset\ker\varphi$ 蕴含 $H_1=\varphi^{-1}(\varphi(H_1))$，而 $\varphi$ 满蕴含 $H_2=\varphi(\varphi^{-1}(H_2))$，双射得证。第一同构则是由于同态基本定理：由
$$
\begin{aligned}
\varphi_0:G_1&\xrightarrow{\varphi}G_2\quad\;\twoheadrightarrow G_2/H_2\\
g_1&\longmapsto\varphi(g_1)\mapsto\varphi(g_1)H_2
\end{aligned}
$$
得 $\ker\varphi_0=\varphi^{-1}(H_2)$ 且 $\operatorname{Im}\varphi_0=G_2/H_2$，故有该诱导同构。$\square
循环群的结构
将该定理应用于满同态 \Z\to\Z/n\Z 上。留意 \ker\varphi\subset H_1 的 H_1 只能是 m\Z，其中 m\mid n，于是简单验证可得
H_2=\varphi(m\mathbb Z)=m\Z/n\Z.
自同构
记 \operatorname{End}(M):=\operatorname{Hom}(M,M)，并记 \operatorname{Aut}(M):=\operatorname{End}(M)^{\times} 为自同构群。
内自同构
所谓群的内自同构或伴随同构是指
\begin{aligned}
\operatorname{Ad}_x:G&\longrightarrow G\\
g&\longmapsto {^x}g:=xgx^{-1},
\end{aligned}
容易验证 \operatorname{Ad}_1=\operatorname{id}_G 且 \operatorname{Ad}_{xy}=\operatorname{Ad}_x\circ\operatorname{Ad}_y。由此给出群同态
\begin{aligned}
\operatorname{Ad}:G&\longrightarrow\operatorname{Aut}G\\
x&\longmapsto\operatorname{Ad}_x.
\end{aligned}
Grothendieck 群
最后，设 M 为交换幺半群，二元运算表作加法。定义
K(M):=M\times M\bigg/(x,y)\sim(x',y')\iff\exists z,x'+y+z=x+y'+z,
有 [x,y]+[x',y']=[x+x',y+y']，则 (K(M),+) 称交换群，称为 Grothendieck 群。
群直积
定义投影同态 p_j：
\begin{aligned}
p_j:\prod_{i\in I}M_i&\longrightarrow M_j\\
(x_i)_{i\in I}&\longmapsto x_j.
\end{aligned}
对任意幺半群 M' 及一族同态 \varphi_i:M'\to M_i，存在唯一 \varphi 使得图表
M'\xrightarrow{\exists!\varphi}\prod_{i\in I}M_i\xrightarrow{p_j}M_j,\quad M'\xrightarrow{\varphi_j}M_j
交换：唯一的取法是 \varphi(x)=(\varphi_i(x))_{i\in I}。幺半群直积实则是一范畴论的构造。