狭义相对论的直观理解(1)——闵氏时空及洛伦兹变换背后的线性代数原理

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引言

狭义相对论是描述参考系变换前后时空上的对称性的原理。通过重新审视时间和空间这些基本但微妙的物理概念，我们能够推导出能够精确描述这种对称性的洛伦兹变换。

然而，在推导洛伦兹变换时，很多文章往往只追求形式上的完备，而忽略了几何直观。本文将基于闵氏时空和线性代数原理导出洛伦兹变换公式，并展示一种全新而优美的直观理解方式。

前置知识

1.高中物理；

2.线性代数的基础知识，以及其几何本质。（推荐食用3b1b的线性代数的本质-系列合集(BV1ys411472E)）

闵氏时空

闵氏时空是时间和空间的统一体。一个物体在四维时空中可用三维空间坐标和一维时间坐标表示。（本文统一使用列向量表示物体坐标）

\bold a=\begin{bmatrix}x\\y\\z\\t\end{bmatrix}

任何复杂的运动都可以分解为直线运动，所以我们先研究一维空间下的运动。此时，可以用二维时空坐标 \begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix} 来表示一个物体的位置。而该物体所处的二维时空可以用二维时空图来直观表示。

（其实就是将x-t 图以 y=x 为轴翻转 \pi\ rad）

时空图上，一个运动的一维物体在任意时刻的位置都对应一个点，这些点连成一条连续曲线，称为该物体的世界线。

参考系

假定一个物体静止所观测的时空被称为该物体的参考系。

在二维时空图中，也就是使该物体的世界线和 t 轴重合。

从假定物体 A 静止到假定物体 B 静止，观测到的时空将产生变化，这种变化称为变换参考系。

从纯粹数学角度而言，变换参考系有无数种实现方式，我们的目标也就是描述最符合现实的变换规律。

形式化与基本规律

将二维时空视为线性空间 V, 在其上定义参考系变换 \bold f:V\rightarrow V，且对于 \bold f(\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}x'\\t'\end{bmatrix}，令 \bold f_x(\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix})=x', \bold f_t(\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix})=t'。

当前以物体 A 作为参考系，物体 B 相对于 A 以速度 v 作匀速直线运动，现在考虑构造出一个 \bold f 使 B 作为参考系。

根据大量实验观测，参考系变换遵循如下基本规律：

1.变换后，B 视为静止。

2.变换前后，相对速率不变，运动方向相反，即 A 以速度 -v 运动。

3.变换前在参考系中静止或匀速运动的物体变换后仍静止或匀速运动。

对应到 \bold f 上就是

\begin{aligned} &\bold f_x(\begin{bmatrix}vt\\t\end{bmatrix})=0\quad (1)\\ &\bold f_x(\begin{bmatrix}0\\t\end{bmatrix})=-v\bold f_t(\begin{bmatrix}0\\t\end{bmatrix})\quad(2)\\ &\bold f \text{为线性变换}\quad(3) \end{aligned}

由 (3) 知 \bold f 可用矩阵表示。

令 \bold f(\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}a&b\\n&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ax+bt\\nx+dt\end{bmatrix}

则根据基本规律可列方程组

\begin{cases} avt+bt=0\\ bt=-vdt\\ \end{cases}

则有 a=d,b=-av。

接下来，我将以此为基础，分别推导绝对时空观下的伽利略变换和相对论时空观下的洛伦兹变换。

伽利略变换

由于认知经验的局限性，人们普遍认为时间，空间是分立的，即时间轴不受观测行为而变化。

对应到 \bold f 上就是

\forall \begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}\in V,\quad \bold f_t(\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix})=nx+at=t

则 n=0, a=1。

那么

\bold f(\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}1&-v\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x-vt\\t\end{bmatrix}

我们称

\begin{bmatrix}1&-v\\0&1\end{bmatrix}

为伽利略变换。

伽利略变换是绝对时空观的体现，以其为基础的经典力学统治了物理界数百年。然而，坚实而冰冷的分立时空最终却被一次实验打破。

洛伦兹变换

1887年，迈克尔逊和莫雷利用迈克尔逊干涉仪试图证明以太存在，但实验结果却出乎意料：在任何参考系下，真空光速 c 恒定不变。

让我们抛弃时间独立的假设。以光速不变为基础。

假设物体 A 沿正方向发出一束光，在变换参考系后，其速度不变。对应到 \bold f 上有

\bold f_x(\begin{bmatrix}ct\\t\end{bmatrix})=c\bold f_t(\begin{bmatrix}ct\\t\end{bmatrix})

则

act-avt=c(nt+at)

解得

n=-a\dfrac{v}{c^2}

那么此时就有 \bold f=\begin{bmatrix}a&-av\\-a\dfrac{v}{c^2}&a\end{bmatrix}。

到这里，如何解出 a 呢？

其实，有一个简单却基本的规律被忽视了：用 \bold f 将原先的二维时空变换后，我们同样应该能用 \bold f 将变化后的时空还原。

考虑变换后的时空，此时物体 B 静止， A 以速度 -v 运动。那么

\begin{bmatrix}a&-av\\-a\dfrac{v}{c^2}&a\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}a&av\\a\dfrac{v}{c^2}&a\end{bmatrix}

即

a^2-a^2\dfrac{v^2}{c^2}=1

解得

a=\pm\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}

由于 A 相对于 B 沿正方向运动，因此 a 取正值。

上述约束用物理语言表达，也就是在任何情况下参考系变换的形式不变。它的底层规律便是物理规律的协变性——物理规律在一切参考系中具有相同形式。

于是，

\begin{bmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}&-\dfrac{v}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\\-\dfrac{v}{c^2\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}&\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\end{bmatrix}

被称为洛伦兹变换，也就是最符合现实的变换方式。