ezoixx174 定理

# ezoixx174 定理： $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}=\frac{1}{89}$$ # ezoixx130 的证法 $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}$$ $$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n)}{10^{n+1}}$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n}{\sqrt 5 \times 10^{n+1}}-\frac{(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n}{\sqrt 5 \times 10^{n+1}}$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n}{\sqrt 5 \times 10^{n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n}{\sqrt 5 \times 10^{n+1}}$$ $$=\frac{\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1+\sqrt 5}{20})^n - \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1-\sqrt 5}{20})^n}{\sqrt 5 \times 10}$$ $$=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1-(\frac{1+\sqrt 5}{20})^n}{1-\frac{1+\sqrt 5}{20}} - \frac{1-(\frac{1-\sqrt 5}{20})^n}{1-\frac{1-\sqrt 5}{20}}}{\sqrt 5 \times 10}$$ $$=\frac{\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt 5}{20}} - \frac{1}{1-\frac{1-\sqrt 5}{20}}}{\sqrt 5 \times 10}$$ $$=\frac{\frac{20}{19-\sqrt 5} - \frac{20}{19+\sqrt 5}}{\sqrt 5 \times 10}$$ $$=\frac{\frac{40\sqrt 5}{356}}{\sqrt 5\times 10}$$ $$=\frac{40}{3560}$$ $$=\frac{1}{89}$$ # ezoixx174 的证法 等式左边为：  等式右边为（每一项为 $100-89=11$ 的幂）：  每一位求和，有：  与等式左边相同。 至于为什么 $11$ 的幂错位相加的结果为斐波那契数列，显然 $11$ 的幂为杨辉三角的一行。上面的求和写在杨辉三角上张这样：  那为什么每条斜线的和等于前两条斜线的和的和呢，一目了然：  Q.E.D. # nederland 的证法 斐波那契数列的生成函数为 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}F_nx^n=\frac{1}{1-x-x^2}$。 将 $x=\frac{1}{10}$ 代入得 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n}}=\frac{1}{0.89}$。 故 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+2}}=\frac{1}{89}$ 。 （下标不同是因为取的首项不一样） ----- 无意义的评论会被删除。