【数学】快速幂

i9_7980XE · 2018-01-11 19:07:44 · 个人记录

首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时

　　　　　　　 a^11=a(2^0+2^1+2^3)

11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a2^0*a2^1*a2^3，也就是a1*a2*a8 ，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子

由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具：&和>> &运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。 >>运算比较单纯,二进制去掉最后一位

常规求幂

        int pow1(int a,int b){
           int r=1;
           while(b--) r*=a;
           return r;
        } 

快速求幂（一般）

        int pow2(int a,int b){
            int r=1,base=a;
            while(b!=0){
            if(b%2) r*=base;
            base*=base;
            b/=2;
            }
            return r;
        }

快速求幂 （递归）

        int f(int m,int n){   //m^n
            if(n==1) return m;
            int temp=f(m,n/2);
            return (n%2==0 ? 1 : m)*temp*temp;
        }

快速求幂（位运算）

        int pow3(int x,int n){
          if(n==0) return 1;
          else {
            while((n&1)==0){
              n>>=1;
              x*=x;
            }
          }
          int result=x;
          n>>=1;
          while(n!=0){
            x*=x;
            if(n&1) result*=x;
            n>>=1;
          }
          return result;
        }

快速求幂（位运算，更简洁）

        int pow4(int a,int b){
          int r=1,base=a;
          while(b){
            if(b&1) r*=base;
            base*=base;
            b>>=1;
          }
          return r;
}