米粒下的象棋盘
一只书虫仔
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个人记录
标题是不是很水吖
今天我们把上次没聊的对数与对数函数聊完
对数
一般地，如果a^b=N,a>0,a\ne 1，则称b为以a为底N的对数，记为
b=\log_aN
其中N称为真数，a称为对数的底。
对数的性质很简单：
$2.$ $1$的对数为$0$，底数的对数为$1
下面这个式子我们称为对数恒等式
a^{\log_aN}=N(a>0,a\ne 1,N>0)
我们把以10为底的对数称为常用对数，记做
\lg N=\log_{10}N
我们把以无理数\text{e}\approx2.71828为底的对数称为自然对数，记做
\ln N=\log_\text{e}N
同底的对数的运算性质：（其中底数a>0,a\ne 1）
$$\log_a(M\cdot N)=\log_aN,M,N>0$$
$2.$商的对数等于对数的差
$$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN,M,N>0$$
$3.$幂的对数等于幂指数乘以底数的对数
$$\log_aM^r=r\cdot\log_aM,M>0,r\in \mathbb{R}$$
然后就到了对数这块比较重要的模块了，换底公式。
对任意的$a,b>0,a\ne 1,b\ne 1,N>0$有
$$\log_aN=\frac{\log_bN}{\log_ba}$$
## 对数函数
解析式形如
$$y=\log_ax,a>0,a\ne 1$$
的函数称为**对数函数**，它的定义域为$(0,+\infty)$，值域为
$\mathbb{R}$。
当$a>1$时，对数函数在$(0,+\infty)$上单调递增；
当$0<a<1$时，对数函数在$(0,+\infty)$上单调递减；
对数函数的图像恒过定点$(1,0)$。
同底的对数函数与指数函数互为**反函数**，它们的图像关于直线$y=x$对称。
今天我们就先聊到这里。
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