除环的中心的某种特性

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所谓的"华罗庚注意到定理".

设D为除环,R为D的子环,而且R本身也是除环.证明若对所有d\in D^\times皆有dRd^{-1}\subseteq R,则必有D=R或R\subseteq Z(D),其中Z(D)=\{z\in D|\forall r\in D,zr=rz\}是D的中心.

现在我们考虑已知R\subseteq Z(D)不成立,去反推R=D.先用一下反证法,那此时取a\in R\setminus Z(D),\exists b\in D,ab\ne ba.我们此时应该要断言这个b一定在R里(因为如果结论不成立那么R外面压根没东西).

那么怎么断言这个b一定在R里呢?华罗庚注意到当a\ne b的时候,以下式子成立

b=(a-(b-1)^{-1}a(b-1))(b^{-1}ab-(b-1)^{-1}a(b-1))^{-1}

这给出b\in R.

现在我们已知b\in R恒成立,那我们在外面找一个c\in D\setminus R,考虑ca\notin R(否则c\in R),但当然有(ca)b=b(ca)=(bc)a=cba,由消去律立即产生矛盾.

那么这个柿子是怎么注意到的呢?首先我们发现环的分配律一定是极其重要的.因为正规子群并没有这么好的性质.所以我们肯定得巧妙运用分配律.

我们考虑把这个b写作bX=Y的形式,其中X,Y\in R,这样就可以断言b\in R了对吧.我们再猜根据分配律,X,Y都是二项式.不妨设X=pap^{-1}-qaq^{-1},并且ab\ne ba的时候X\ne 0,也就是当ab=ba的时候X=0应该是成立的.照着这个去构造,bX=bpap^{-1}-bqaq^{-1}=bpb^{-1}abp^{-1}-bqb^{-1}abq^{-1}=Y.于是尝试去构造bpb^{-1}bp^{-1}=1,发现这个时候b=1,这当然不满足我们的要求.

再猜不是这么对应的,可能需要拆一下某一项,所以拆出bX=bpap^{-1}-(b-1)qaq^{-1}-qaq^{-1},欸,此时如果bp=(b-1)q的话,bX=bpa(p^{-1}-q^{-1})-qaq^{-1},只需满足bp(p^{-1}-q^{-1})=1就好了对吧.

也就是只需解出方程\begin{cases}bp=(b-1)q\\bp(p^{-1}-q^{-1})=1\end{cases}.此时发现只要上面的方程成立下面的方程自然成立,所以任取一组让上面成立的就行.事实上我们最后取了p=b^{-1},q=(b-1)^{-1}.