威尔逊定理QWQ
Jμdge
2019-04-23 12:41:40
考虑作者太懒了,博客里面的同余符号都用等号代替 qwq
# 威尔逊定理
威尔逊定理大概是这么个东西:
$$(p-1)!=-1(mod ~~ p)$$
其中 p 当然是质数辣~
# Proof
然后我们考虑证明?
首先:
$$p-1=-1(mod ~~ p)$$
那么我们只需要证明 $(p-2)!=1 (mod~~ p)$ 就好了...
也就是说,除去 1 后,如果 $2,3,...,p-2$ 能够两两配对,且每对数乘积 模 p 后为 1 的话,威尔逊定理就成立了,然后我们考虑这其实就是对于 $2,3,...,p-2$ 去找 模 p 意义下的逆元啊...
然后考虑一下二次剩余里面的衍生芝士我们可以知道对于 $x^2=1$ 只有两个解(1,p-1),而这两个数已经被我们安排掉了,也就是说 $2,3,...,p-2$ 中**不存在某个数的逆元是自己本身**...
然后我们还知道逆元有**唯一性**与**互反性**,于是乎这些数自然是一一对应的辣~
证毕!
# Application
这个...显然可以用在阶乘求解上?
但是用途不广...可能可以用来优化快速阶乘? XD
我们考虑这个式子已经成立了:
$$(p-1)!=-1(mod ~~ p)$$
那么我们现在要求的是:
$$n!~(mod ~~ p)$$
然后我们考虑威尔逊定理能怎么用进去...
(现在我们不考虑 $n=p-1$ 或 $p-2$ 的极端情况,$n=p-1$ 时答案为 $p-1$ ,$n=p-2$ 时 答案为 $1$ ,可特判)
首先:
$$n! ·\Big( (n+1)(n+2)...(p-1)\Big) =-1(mod~~ p)$$
我们令 $p-n =x$ :
$$n! ·\Big( (p-x+1)(p-x+2)...(p-1)\Big) =p-1(mod~~ p)$$
那么:
$$\begin{aligned}( n!)'=&(p-x+1)(p-x+2)...(p-2)\\=&(-1)^{x-2}(x-1)(x-2)...(2)\\=&(-1)^x (x-1)!\\=& (-1)^{p-n}(p-1-n)! \\=& (-1)^{n+1}(p-1-n)! \end{aligned}$$
上面 $p-x+1$ 变到 $x-1$ 其实就是把负号提出来了...
然后我们发现只要求出 $(p-1-n)!$ 然后乘上 $(-1)^n$
这样的优化...可能没什么用?但是也是优化就是了...