形式幂级数环的基本架构

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写的不太好，先不投了。

引入

我们首先引入一个直接通过环 R 的模构建的一元形式幂级数环的定义，作为一个涉及了本文主要探讨内容的简单介绍。后面我们将会对于一般的形式幂级数环进行重新的定义，并证明二者等价。

理想

$\mathbf{Definition\;0.1.2}\quad$一个理想 $I$ 被称作由子集 $\mathcal S$ 产生，记作 $(\mathcal S)$，如果 $\forall t\in I$ 的 $t$ 可以被以下形式表示： $$ t=\sum_{1}^nr_is_i\qquad r_i\in R,s_i\in \mathcal S $$ $\mathbf{Proposition\;0.1.3}\quad 0$ 和 $R$ 都是理想。 不为 $0,R$ 的理想称为真理想，否则为平凡理想；能由一个元素生成的理想称为主理想。 $\mathbf{Definition\;0.1.4}\quad$一个真理想 $I$ 被称为是**素理想**，如果一旦 $f,g\in R,fg\in I$ 就有 $f\in I$ 或 $g\in I$。 $\mathbf{Definition\; 0.1.5}\quad$ 如果 $0$ 是环 $R$ 的一个素理想，那么 $R$ 被称作一个**整环**。 $\mathbf{Note.}\quad$由定义知不存在零因子的环是整环，从而消去律成立。 $\mathbf{Theorem\; 0.1.6}\quad$有限整环是域。 $Proof.

设 R 是一个含有 n 个非零元素的整环，假设其不为域，设其中存在一个 x\neq 0，使得 \forall a_i\neq 0,a_ix\neq 1。设 S=\{a_ix\}，则 S\subset R。因 1\neq 0,a_ix\neq 1，故这样的 a_ix 至多有 n-1 个，根据鸽巢原理，这 n 个 a_i 中必存在两个 a_{\imath}\neq a_{\jmath} 使得 a_{\imath}x=a_{\jmath}x,(a_{\imath}-a_{\jmath})x=0。因整环中不含零因子，又 x\neq 0,a_{\imath}\neq a_{\jmath}，故产生矛盾。从而为域。

## 模 $\mathbf{Definition\;0.2.1}\quad$设 $R$ 和 $S$ 是环，**直积 (笛卡尔积)** $R\times S$ 是关于 $a\in R,b\in S$ 的有序元素对 $(a,b)$ 构成的一个环，其运算为： $$ (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b') $$ $$ (a,b)(a',b')=(aa',bb') $$ 映射 $a\mapsto(a,b)$ 使 $R$ 成为 $R\times S$ 的一个子集。 $S$ 是类似的。$R\times S$ 中的 $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ 是**幂等** (idempotent) 的，且是一组正交幂等元，因为 $e_1e_2=0$，且它是一个完备正交幂等集。 $\mathbf{Definition\;0.2.2}\quad

一个环 R 的 \mathbf R\text -代数 是一个环 S 配有一个环同态 \alpha:R\to S。S 的一个子代数 S' 是一个包含 R 的像的子环。

- $r(sm)=(rs)m

对于 R 的模而言，有时比研究其理想的限制更少。

$$ \operatorname{ann}M=\{r\in R|rM=0\} $$ $\mathbf{Proposition\;0.2.5}\quad \operatorname{ann}R/I=I. $\mathbf{Definition\;0.2.6}\quad$模 $M,N$ 的**直和** $M\oplus N$ 定义为： $$ M\oplus N=\{(m,n)|m\in M,n\in N\} $$ 且具有模性质 $r(m,n)=(rm,rn)$。若设 $M_i$ 是一组 $R\text -$模，$I$ 为指标集，则其直和为： $$ \bigoplus_{i\in I}M_i=\{(m_i)|i\in I,m_i\in M_i\} $$ 且 $m_i\neq 0$ 只对有限个 $i$ 成立。也即，在有限个 $M_i$ 的情况下，$\bigoplus_iM_i=\prod_iM_i$，而在无限个的情况下： $$ \bigoplus_{i}M_i\subset\prod_{i}M_i $$ $\mathbf{Definition\;0.2.7}\quad$一个模同构于一系列 $R$ 的一个直和 $R^n$，则其为一个**自由** $\mathbf R\text -$**模**，称 $n$ 为其**秩**，并认为其有一个给出的**基**，称之为所谓坐标向量集： $$ (1,0,0,\dots,0),\,(0,1,0,\dots,0),\,\dots,\,(0,\dots,0,1) $$ ## 一元形式幂级数环 $\mathbf{Definition\;0.2.8}\quad$设 $R$ 是一个交换环，设 $R\text -$模 $\prod_{i=0}^{\infty}R_i\,(R_i\cong R)$，记 $R[[x]]=\prod_{i=0}^{\infty}R_i$，记 $x^i=(0,0,\dots,0,1,0,0,\dots)$，则其中元素具有形式： $$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots $$ 并规定其中的乘法具有一个称之为“卷积”的形式： $$ f(x)g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^k $$ 则这样的 $R[[x]]$ 构成了一个交换环，称其为单一不定元的**形式幂级数环**。 $\mathbf{Definition\;0.2.9}\quad$设 $R$ 是一个交换环，记其生成的自由 $R\text -$模 $\bigoplus_{i=0}R_i$ 为 $R[x]$，记 $x^i=(0,0,\dots,0,1,0,0,\dots)$ 为其基，则其中元素具有形式： $$ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 $$ 并定义乘法： $$ f(x)g(x)=\sum_{k=0}^{n+m}\left(\sum_{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^k $$ 则 $R[x]$ 构成一个交换环，称其为环 $R$ 上的**一元多项式环**。 $\mathbf{Proposition\;0.2.10}\quad$如果 $R$ 是整环，那么 $R[x]$ 和 $R[[x]]$ 是整环。 $\mathbf{Corollary\;0.2.11}\quad\forall f,g\in R[x]$ 有 $\partial(f(x)g(x))\leqslant\partial(f(x))+\partial(g(x))$，且当 $R$ 为整环时等号成立。 $\mathbf{Proposition\;0.2.12}\quad$设 $R$ 是一个域，其 $R\text -$自由模是一线性空间，其秩为线性空间的维数。 $\mathbf{Corollary\;0.2.13}\quad$设 $R$ 是一个域，则定义了数乘后 $R[x]$ 构成一线性空间。 $\mathbf{Thoerem\;0.2.14}\quad R[x]$ 是 $R[[x]]$ 的子环，并有一个自然嵌入。 $Proof.\quad$证显，略。从各个角度有多种方法可以证明。 ------------ # $\mathbf 1\;$ 范畴 作为正式构建形式幂级数环的基础，范畴的引入是必要的。 ## $\mathbf{1.1\;}$ 函子及其范畴 $\mathbf{Definition\;1.1.1}\quad$设 $\mathcal{C',C}$ 为范畴。一个**函子** $F:\mathcal{C'\to C}$ 为以下一系列映射： - 对象间的映射 $F:\mathrm{Ob}(\mathcal C')\to\mathrm{Ob}(\mathcal C)$。 - 态射间的映射 $F:\mathrm{Mor}(\mathcal C')\to\mathrm{Mor}(\mathcal C)$，使得： - $\forall X,Y\in\mathrm{Ob}(\mathcal C')$ 皆有映射 $F:\mathrm{Hom}_{\mathcal{C'}}(X,Y)\to\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(FX,FY)

对于函子 F:\mathcal{C}_1\to \mathcal{C}_2,\,G:\mathcal{C}_2\to\mathcal{C}_3，其合成函子 G\circ F 显然定义为取其合成映射。

$$ \theta_X\in\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(FX,GX),\quad X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C'}) $$ 使得对所有 $\mathcal{C'}$ 中的态射 $f:X\to Y$ 均有： $$ FX\xrightarrow{\theta_X}GX\xrightarrow{Gf}GY,\quad FX\xrightarrow{Ff}FY\xrightarrow{\theta_Y}GY $$ 交换，记上述自然变换为 $\theta:F\to G$，即： $$ \mathcal{C'}\xrightarrow{F\xRightarrow{\theta}G}\mathcal{C} $$ $\mathbf{Definition\;1.1.3}\quad$考虑 $\mathcal{C'}$ 到 $\mathcal{C}$ 的三个函子 $F,G,H$ 间的态射 $\theta:F\to G,\,\psi:G\to H$。其自然变换的**纵合成** $\psi\circ\theta$ 定义为： $$ \{\psi_X\circ\theta_X:X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\} $$ $\mathbf{Definition\;1.1.4}\quad$考虑函子 $\mathcal{C''}\xrightarrow{F_1,F_2}\mathcal{C'}\xrightarrow{G_1,G_2}\mathcal{C}$ 及态射 $\theta:F_1\to F_2,\,\psi:G_1\to G_2$。自然变换的**横合成** $\psi\circ\theta$ 为一个映射 $\psi\circ\theta:G_1\circ F_1\to G_2\circ F_2$。注意到由于函子 $\psi$ 的自然性，所有 $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C''})$ 均有： $$ G_1F_1(X)\xrightarrow{\psi_{F_1X}}G_2F_1(X)\xrightarrow{G_2(\theta_X)}G_2F_2(X) $$ $$ G_1F_1(X)\xrightarrow{G_1(\theta_X)}G_1F_2(X)\xrightarrow{\psi_{F_2X}}G_2F_2(X) $$ 交换。我们记 $(\psi\circ\theta)_X:G_1F_1(X)\to G_2F_2(X)$ 为所谓的横合成。也即： $$ \mathcal{C''}\xrightarrow{F_1\xRightarrow{\theta}F_2}\mathcal{C'}\xrightarrow{G_1\xRightarrow{\psi}G_2}\mathcal{C}\quad:\to\quad\mathcal{C''}\xrightarrow{G_1F_1\xRightarrow{\psi\circ\theta}G_2F_2}\mathcal{C} $$ $\mathbf{Lemma\;1.1.5}\quad$纵、横合成都是函子间的态射，且各自满足严格结合律，且纵、横合成满足对于图表： $$ \mathcal{C}_1\xrightarrow{F\xRightarrow{\theta}G\xRightarrow{\psi}H}\mathcal{C}_2\xrightarrow{F\xRightarrow{\theta'}G'\xRightarrow{\psi'}H'}\mathcal{C}_3 $$ 有以下交换律成立： $$ \left(\psi'\circ_v\theta'\right)\circ_h\left(\psi\circ_v\theta\right)=\left(\psi'\circ_h\psi\right)\circ_v\left(\theta'\circ_h\theta\right) $$ $\mathbf{Definition\;1.1.6}\quad$给定函子 $F_1,F_2$ 间的态射 $\theta:F_1\to F_2,\,\psi:F_2\to F_1$。若满足 $\psi\circ\theta=\mathrm{id}_{F_1},\theta\circ\psi=\mathrm{id}_{F_2}$，则称 $\psi$ 是 $\theta$ 的**逆**。可逆态射被称作函子间的**同构**，记作 $\theta:F_2\xrightarrow{\sim}F_2$。 $\mathbf{Proposition\;1.1.7}\quad$逆若存在，则唯一。 我们将 $\theta$ 的逆记作 $\theta^{-1}$。 $\mathbf{Definition\;1.1.8}\quad$设范畴 $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2$ 有函子 $F:\mathcal{C}_1\to\mathcal{C_2},G:\mathcal{C}_2\to\mathcal{C}_1$，满足存在同构 $\theta:FG\xrightarrow{\sim}\mathrm{id}_{\mathcal{C}_2},\psi:GF\xrightarrow{\sim}\mathrm{id}_{\mathrm{C}_1}$，则称 $G$ 是 $F$ 的**拟逆函子**，并称 $F$ 是范畴 $\mathcal{C}_1$ 到 $\mathcal{C}_2$ 的**等价**。 $\mathbf{Proposition\;1.1.9}\quad$设 $G,G'$ 为函子 $F:\mathcal{C}_1\to\mathcal{C}_2$ 的拟逆，则存在函子的同构 $G\simeq G'$。 $\mathbf{Note.}\quad$自然可以定义函子间的逆，则这样的逆唯一。 $\mathbf{Definition\;1.1.10}\quad$设 $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2$ 为 $\mathcal{U}\text -$范畴，定义**函子范畴** $\mathrm{Fct}(\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2)$：其对象是 $\mathcal{C}_1$ 到 $\mathcal{C}_2$ 的函子，其对象 $F,G$ 间的态射是自然变换 $\theta:F\to G$，态射的合成是自然变换的纵合成。 ## $\mathbf{1.2}\;$ 逗号范畴 ### 积范畴和余积范畴 $\mathbf{Definition\;1.2.1}\quad$设 $I$ 为 $\mathcal{U}\text -$集，$\mathcal{C}_i:i\in I$ 是一族范畴。定义**积范畴** $\prod_{i\in I}\mathcal{C}_i$： $$ \mathrm{Ob}\left(\prod_{i\in I}\mathcal{C}_2\right):=\prod_{i\in I}\mathrm{Ob}(\mathcal{C}_i) $$ $$ \mathrm{Hom}_{\prod_{i\in I}\mathcal{C}_i}((X_i)_i,(Y_i)_i)=\prod_{i\in I}\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_i}(X_i,Y_i) $$ $\mathbf{Definition\;1.2.2}\quad$设 $I$ 为 $\mathcal{U}\text -$集，$\mathcal{C}_i:i\in I$ 是一族范畴。其**余积范畴**，又称无交并范畴 $\coprod_{i\in I}\mathcal{C}_i$ 如下定义： $$ \mathrm{Ob}\left(\coprod_{i\in I}\mathcal{C}_2\right):=\coprod_{i\in I}\mathrm{Ob}(\mathcal{C}_i) $$ $$ \mathrm{Hom}_{\coprod_{i\in I}\mathcal{C}_i}(X_j,X_k)= \begin{cases} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_j}(X_j,X_k)&j=k\\ \varnothing&j\neq k \end{cases} $$ 在定义中我们以 $(X_i)_i$ 表示 $\prod_{i\in I}\mathrm{Ob}(\mathcal{C}_i)$ 中的元素，以 $X_j$ 表示 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C}_j)$ 中的元素。规定积范畴的态射的合成是逐分量定义的；又见余积范畴的态射的合成是各 $\mathcal{C}_i$ 中分别各自定义的。 ### 逗号范畴 $\mathbf{Definition\;1.2.3}\quad$对于函子 $\mathcal{A}\xrightarrow{S}\mathcal{C}\xleftarrow{T}\mathcal{B}$，定义**逗号范畴**： - 对象：形如 $(A,B,f)$，其中 $A\in\mathrm{Ob}(\mathcal{A}),B\in\mathrm{Ob}(\mathcal{B}),f:SA\to TB$。 - 态射：从 $(A,B,f)$ 到 $(A',B',f')$ 的态射形如 $(g,h)$，其中 $g:A\to A',h:B\to B'$ 分别是 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 中的态射，使得： $$SA\xrightarrow{Sg}SA'\xrightarrow{f'}TB',\quad SA\xrightarrow{f}TB\xrightarrow{Th}TB'$$ 交换。态射的合成是 $(g_1,h_1)\circ(g_2,h_2)=(g_1\circ g_2,h_1\circ h_2)$。$(A,B,f)$ 到自身的恒等态射是 $(\mathrm{id}_A,\mathrm{id}_B)$。 现在让我们考虑两个重要的例子。 $\mathbf{Example\;1.2.4}\quad$考虑函子 $T:\mathcal{C'}\to\mathcal{C}$ 及 $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$。考虑对于 ${\bf 1}\xrightarrow{j_X}\mathcal{C}\xleftarrow{T}\mathcal{C'}$ 的逗号范畴 $(X/T):=(j_X/T)$，其对象形如 $(W,X\xrightarrow{i}TW)_{W\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C'})}$，而 $(W_1,i_1),(W_2,i_2)$ 间的态射是使得下图交换的 $h:W_1\to W_2$： $$ X\xrightarrow{i_1}TW_1\xrightarrow{Th}TW_2,\quad X\xrightarrow{i_2}TW_2 $$ $\mathbf{Example\;1.2.5}\quad$考虑函子 $T:\mathcal{C'}\to\mathcal{C}$ 及 $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$。考虑对于 $\mathcal{C'}\xrightarrow{T}\mathcal{C}\xleftarrow{j_X}{\bf 1}$ 的逗号范畴 $(T/X):=(T/j_X)$，其对象形如 $(W,TW\xrightarrow{p}X)_{W\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C'})}$，而 $(W_1,p_1),(W_2,p_2)$ 间的态射是使得下图交换的 $f:W_1\to W_2$： $$ X\xleftarrow{p_2}TW_2\xleftarrow{Tf}TW_1,\quad X\xleftarrow{p_1}TW_1 $$ ## $\bf 1.3\;$ 极限与完备性 $\mathbf{Definition\;1.3.1}\quad$令 $I,\mathcal{C}$ 为范畴，定义**对角函子** $\Delta:\mathcal{C}\to\mathcal{C}^{I}:=\mathrm{Fct}(I,\mathcal{C})$ ，其将任一 $X\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 映至 $\mathcal{C}^I$ 中的常值函子： $$\Delta(X):I\to\mathcal{C}\begin{cases}\forall i\in\mathrm{Ob}(I),&i\longmapsto X\\\forall\left[i\to j\right]\in\mathrm{Mor}(I),&\left[i\to j\right]\longmapsto\left[\mathrm{id}_X:X\to X\right]\end{cases}$$ 根据 $1.2.4$ 及 $1.2.5$，对于函子 $I\xrightarrow{\alpha}\mathcal{C}\xleftarrow{\beta}I^{\rm op}$，我们可以构造以下两个逗号范畴： $$ \left[{\bf 1}\xrightarrow{j_{\alpha}}\mathcal{C}^I\xleftarrow{\Delta}\mathcal{C}\right]\rightsquigarrow\quad(j_{\alpha}/\Delta)=:(\alpha/\Delta) $$ $$ \left[\mathcal{C}\xrightarrow{\Delta}\mathcal{C}^{I^{\mathrm{Ob}}}\xleftarrow{j_{\beta}}{\bf 1}\right]\rightsquigarrow\quad(\Delta/j_{\beta})=:(\Delta/\beta) $$ 第一个逗号范畴的结构可描述如下： - 对象，称为**余锥**：形如 $\left(L,f:\alpha\to\Delta(L)\right)_{L\in\mathrm{Ob}(\mathcal{C})}$，也即： $$\left(L,\left(\alpha(i)\xrightarrow{f_i}L\right)_{i\in\mathrm{Ob}(I)}\right),\quad\forall\left[i\xrightarrow{\phi}j\right],\,\alpha(i)\xrightarrow{\alpha(\phi)}\alpha(j)\to L,\,\alpha(i)\to L$$ - 态射： $$[\varphi:(L,(f_i)_i)\to(L',(f'_i)_i)]=\forall i,\,\alpha(i)\xrightarrow{f_i}L\xrightarrow{\varphi}L',\,\alpha(i)\xrightarrow{f_i'}L'$$ 第二个逗号范畴的结构可描述如下： - 对象，称为**锥**： $$\left(L,\left(L\xrightarrow{g_i}\beta(i)\right)_{i\in\mathrm{Ob}(I)}\right),\quad\forall\left[i\xrightarrow{\phi}j\right],\,\beta(i)\xleftarrow{\beta(\phi)}\beta(j)\leftarrow L,\,\beta(i)\leftarrow L$$ - 态射： $$[\varphi:(L,(g_i)_i)\to(L',(g'_i)_i)]=\forall i,\,\beta(i)\xleftarrow{g_i}L\xleftarrow{\varphi}L',\,\beta(i)\xleftarrow{g_i'}L'$$ 现在，我们可以定义极限。 $\mathbf{Definition\;1.3.2}

我们称它们为以 I 为指标的余极限和极限，I 称指标集。

取 $I$ 为离散范畴，对于函子 $\alpha:I\to\mathcal{C}$，余极限 $\lim\limits_{\longrightarrow}\alpha$ 若存在，则称为 $\mathcal{C}$ 中一族对象 $X_i:=\alpha(i)$ 的**余积** $\coprod_{i\in I}X_i$。相仿，若极限 $\lim\limits_{\longleftarrow}\beta$ 存在，则称为对象族 $Y_i:=\beta(i)$ **积** $\prod_{i\in I}\beta(i)$，均为 $\mathcal{C}$ 中的对象。态射族： $$ \iota_j:X_j\to\coprod_{i}X_i,\quad p_j:\prod_{i}Y_i\to Y_j $$ 分别出现在余积和积中，后者称为到 $Y_j$ 的**投影**。关于积，对于任意 $X_{\jmath}$ 和态射 $f_j:X_{\jmath}\to X_j$，都存在唯一的态射 $\phi:\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\left(X_{\jmath},\prod_{i\in I}Y_i\right)$ 使得 $p_i\phi=f_j$，也即： $$ \mathrm{Hom}_{\mathcal C}\left(\cdot,\prod_{i\in I}Y_i\right)\xrightarrow{\sim}\prod_{i\in I}\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\left(\cdot,Y_i\right),\quad \phi\longmapsto(p_i\phi)_{i\in I} $$ 相仿，对于余积有： $$ \mathrm{Hom}_{\mathcal C}\left(\coprod_{i\in I}X_i,\cdot\right)\xrightarrow{\sim}\prod_{i\in I}\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\left(X_i,\cdot\right),\quad \phi\longmapsto(\phi\iota_i)_{i\in I} $$ 取指标集 $I$ 为空范畴，则其余积（也即余极限）和积（也即极限）分别为始对象和终对象。 取 $I$ 为 $\bullet\rightrightarrows\bullet$ 给出的范畴，函子 $\alpha,\beta$ 可解释为 $\mathcal C$ 中的两个平行箭头 $X\mathop{\rightrightarrows}\limits_g^f Y$，相应的极限记为 ${\rm coker}(f,g):=\lim\limits_{\longrightarrow}\alpha,{\rm ker}(f,g):=\lim\limits_{\longleftarrow}\beta$，称为**余等化子**和**等化子**（**差核**）。 $\mathbf{Definition\;1.3.3}\quad$对于范畴 $\mathcal C$，若对于所有小范畴 $I$，所有以 $I$ 为指标的极限都存在，则称其为**完备**的；若所有以 $I$ 为指标的余极限都存在，则称其为**余完备**的。 ------------ # $2\;$ 交换环 ## $2.1\;$ 群 $\mathbf{Definition\;2.1.1}\quad$设 $I$ 为指标集，$(M_i)_{i\in I}$ 为一族幺半群，在集合的积 $\prod_{i\in I}M_i$ 上定义幺半群结构： - 元素：$(x_i)_{i\in I}

称为幺半群 (M_i)_{i\in I} 的直积。

$$ M'\xrightarrow{\varphi_j}M_j,\quad M'\xrightarrow{\exists !\varphi}\prod_{i\in I}M_i\xrightarrow{p_j}M_j $$ 使得对于每个 $j$ 交换，也即 $\forall j\in I,p_j\varphi=\varphi_j$。 ### 自由群 $\mathbf{Definition\;2.1.3}\quad$考虑形如 $(\mathbf M(X),\iota)$ 的资料，其中 $\mathbf M(X)$ 为幺半群，$\iota:X\to\mathbf M(X)$ 为映射。若对任意幺半群 $M'$ 及映射 $\iota':X\to M'$，存在唯一的同态 $\varphi:\mathbf M(X)\to M'$ 使得： $$ X\xrightarrow{\iota'}M',\quad X\xrightarrow{\iota}\mathbf M(X)\xrightarrow{\exists!\varphi}M' $$ 交换，则称 $(\mathbf{M}(X),\iota)$ 为 $X$ 上的**自由幺半群**。 $\mathbf{Definition\;2.1.4}\quad$考虑形如 $(\mathbf F(X),\iota)$ 的资料，其中 $\mathbf F(X)$ 为群，$\iota:X\to\mathbf F(X)$ 为映射。若对任意幺半群 $G$ 及映射 $\iota':X\to G$，存在唯一的同态 $\varphi:\mathbf FM(X)\to G$ 使得： $$ X\xrightarrow{\iota'}G,\quad X\xrightarrow{\iota}\mathbf F(X)\xrightarrow{\exists!\varphi}G $$ 交换，则称 $(\mathbf{F}(X),\iota)$ 为 $X$ 上的**自由群**。 $\bf Note.\quad$自由群的构造 $X\mapsto(\mathbf{F}(X),\iota)$ 决定了忘却函子 $U:\mathsf{Grp}\to\mathsf{Set}$ 的左伴随函子： $$ \mathrm{Hom}_{\mathsf{Set}}(X,G)\xrightarrow{\sim}\mathrm{Hom}_{\mathsf{Grp}}(\mathbf F(X),G) $$ $$ \iota'\longmapsto\varphi\quad\;\;\, $$ 大而化之地说，就是“自由构造 $=$ 忘却函子的左伴随”。 显见自由幺半群或自由群若存在，则在差一个唯一同构的意义下是唯一的；因此我们只需构造之。对于 $(\mathbf M(X),\iota)$，定义 $\mathbf M(X)$ 为形如： $$ g:=x_1x_2\cdots x_n\qquad n\in\mathbb Z_{\geqslant 0},\; x_1,\dots,x_n\in X $$ 构成的集合，$g$ 称为**字**，$n$ 为其**长度**。当 $n=0$ 时，相应的字是空的，记之为 $1$。字 $g=(x_i)_{i=1}^n,h=(y_j)_{j=1}^m$，其积 $gh$ 为： $$ gh:=x_1x_2\cdots x_ny_1y_2\cdots y_m $$ 显见 $g\cdot 1=g=1\cdot g,\,g(hk)=(gh)k$。因此 $\mathbf M(X)$ 为一幺半群，映射 $\iota:X\to \mathbf M(X)$ 将 $x\in X$ 映至长为一的字 $x\in\mathbf M(X)$。 $\mathbf{Lemma\;2.1.5}\quad(\mathbf M(X),\iota)$ 是 $X$ 上的自由幺半群。证明是显见的。 ### 自由交换群 $\mathbf{Definition\;2.1.6}\quad$设 $X$ 为集合，若资料 $(M,\iota)$ 满足： - $M$ 是交换幺半群； - $\iota:X\to M$ 为映射； - 对任意 $(M',\iota')$，存在唯一同态 $\varphi:M\to M'$ 使得以下图表交换： $$X\xrightarrow{\iota'}M',\quad X\xrightarrow{\iota}M\xrightarrow{\varphi}M'$$ 则称 $(M,\iota)$ 为 $X$ 上的**自由交换幺半群**；若 $M,M'$ 为交换群，则称其为**自由交换群**。 设 $(M_i)_{i\in I}$ 为一族交换幺半群，定义其直和为： $$ \bigoplus_{i\in I}M_i:=\left\{(m_i)_{i\in I}\right\} $$ 且至多只有有限项非零。则对于包含态射 $\iota_j:M_j\to\bigoplus_{i\in I}M_i$，以下泛性质成立：对任意一族交换幺半群同态 $\iota:M_j\to M'$，图表： $$ M_j\xrightarrow{\iota'_j}M',\quad M_j\xrightarrow{\iota_j}\bigoplus_{i\in I}M_i\xrightarrow{\exists!\varphi}M' $$ 交换。唯一的取法是 $\varphi:(m_i)_{i\in I}\longmapsto\sum_{i\in I}\iota'_i(m_i)$。显见后者为有限和。 我们将通过直和构造 $X$ 上自由交换幺半群，记作 $\mathbb Z_{\geqslant 0}^{\oplus X}$，定义为： $$ \mathbb Z_{\geqslant 0}^{\oplus X}:=\bigoplus_{x\in X}\mathbb (Z_{\geqslant 0})_x $$ 惯常记为形式和： $$ \mathbb Z_{\geqslant 0}^{\oplus X}:=\left\{\sum_{x\in X}a_x\cdot x:\forall x,a_x\in\mathbb Z_{\geqslant 0}\right\} $$ 且仅有有限项非零；或者将其中元素记为以下形式： $$ x_1^{a_{x_1}}x_2^{a_{x_2}}\cdots x_i^{a_{x_i}}\cdots,\qquad x_i\in X $$ $\bf Theorem\;2.1.6\quad$考虑交换群的范畴 $\mathsf{Ab}$，一族交换群 $(G_i)_{i\in I}$ 的余积为交换群的直和 $\bigoplus_{i\in I}G_i$ 连通包含态射 $\iota_j:G_j\to\bigoplus_{i\in I}G_i$。 ## $2.2\;$ 环 $\bf Proposition\;2.2.1

以下推论是自然的。

### 局部化 $\bf Definition\;2.2.3\quad$设 $R$ 为交换环，若子集 $S\subset R$ 对环的乘法构成幺半群，则称 $S$ 为 $R$ 的**乘性子集**。 $\bf Definition\;2.2.4\quad$设 $S$ 为 $R$ 的乘性子集，对 $S$ 的**局部化** $R\left[S^{-1}\right]$ 为对于集合 $R\times S$ 上的等价关系： $$ (r,x)\sim(r',s')\iff\left[\exists t\in S,\,trs'=tr's\right] $$ 的商集 $R/\sim$，易知 $\sim$ 确为等价关系；且对于任意 $t\in S$ 皆有 $[r,s]=[rt,st]$。自然地定义： $$ [r,s]+\left[r',s'\right]=\left[rs'+r's,ss'\right],\quad[r,s]\cdot[r',s']=[rr',ss'] $$ 显见这样定义的 $R\left[S^{-1}\right]$ 为交换环；零元为 $0=[0,s]$，$s\in S$ 可任取。幺元为 $1=[s,s]$。显然可得： $$ [r,s]=0\iff[\exists t\in S,\,tr=0] $$ 当 $\exists s\in S$ 使得 $sR=0$ 时 $R\left[S^{-1}\right]$ 为零环，我们一般排除这种情形。$r\mapsto[r,1]$ 给出了一个环同态 $R\to R\left[S^{-1}\right]$。$s\in S$ 的像落在 $R\left[S^{-1}\right]^{\times}$ 中，其逆无非为 $[1,s]$。 $\bf Proposition\;2.2.5\quad$局部化 $R\to R\left[S^{-1}\right]$ 满足：任意交换环的同态 $\varphi:R\to A$ 若满足 $\varphi(S)\in A^{\times}$，则存在唯一环同态 $\varphi\left[S^{-1}\right]:R\left[S^{-1}\right]\to A$ 使得图表： $$ R\xrightarrow{\varphi}A,\quad R\longrightarrow R\left[S^{-1}\right]\xrightarrow{\varphi\left[S^{-1}\right]}A $$ 交换。其等价于： $$ [r,s]=[r,1]\cdot[1,s]\xrightarrow{\varphi\left[S^{-1}\right]}\varphi(r)\varphi(s)^{-1}\in A $$ 易证其确为一个环同态。 ${\bf Lemma\;2.2.6\quad}[r,s]\in R\left[S^{-1}\right]$ 可逆当且仅当存在 $r_1\in R$ 使得 $rr_1\in S$。 $Proof.\quad$充分性和必要性都是显然的。 $\bf Lemma\;2.2.7\quad$局部化态射 $R\to R\left[S^{-1}\right]$ 是单射当且仅当 $S$ 不含零因子。 ${\bf Definition\;2.2.8\quad}R\setminus\{0\}$ 中的所有非零因子构成的 $R$ 的乘性子集，相应的局部化记为： $$ R\hookrightarrow{\rm Frac}(R) $$ ${\rm Frac}(R)$ 称为 $R$ 的**全分式环**。当 $R$ 是整环时，${\rm Frac}(R)$ 为域，称为 $R$ 的**分式域**。显见 $[r,s]^{-1}=[s,r]$。 ### 完备化 今将证明环范畴 $\mathsf{Ring}$ 中存在非空的 $\lim\limits_{\longleftarrow}$。考虑函子 $\beta^{\rm op}\to{\sf Ring}$，$I$ 为小范畴。为了符号方便，不妨假定 $I$ 实为一个非空偏序集 $(I,\leqslant)$，$\beta$ 对应到环族 $\{R_i=\beta(i)\}_{i\in I}$ 及同态族 $\{\varphi_{ij}=\beta(j\to i):R_i\to R_j\}_{i\geqslant j}$，后者需满足： $$ i\geqslant j\geqslant k\;\Longrightarrow\;\varphi_{jk}\varphi_{ij}=\varphi_{ik}:R_i\to R_k $$ 定义 $\prod_{i\in I}R_i$ 的子环： $$ \lim\limits_{\mathop{\large\longleftarrow}\limits_{i\in I}}R_i:=\left\{(r_i)\in\prod_{i\in I}R_i:\forall i\geqslant j,\,\varphi_{ij}(r_i)=r_j\right\} $$ 则 $\lim\limits_{\mathop{\large\longleftarrow}\limits_{i\in I}}R_i$ 连同投影同态族 $\left(p_j:\lim\limits_{\mathop{\large\longleftarrow}\limits_{i\in I}}R_i\to R_j\right)_{j\in I}$ 满足如下泛性质：对任意环 $S$ 及同态族 $\left(q_j:S\to R_j\right)_{j\in I}$，若图表： $$ S\xrightarrow{q_j}R_j,\quad S\xrightarrow{q_i}R_i\xrightarrow{\varphi_{ij}}R_j $$ 对 $I$ 中任意 $i\geqslant j$ 皆交换，则存在唯一的环同态 $\varphi:S\to\lim\limits_{\mathop{\large\longleftarrow}\limits_{i\in I}}R_i$ 使得下图对每个 $j\in I$ 皆交换： $$ S\xrightarrow{q_j}R_j,\quad S\xrightarrow{\exists !\varphi}\lim\limits_{\mathop{\large\longleftarrow}\limits_{i\in I}}\xrightarrow{p_j}R_j $$ $\bf Definition\;2.2.9\quad$设 $(I,\leqslant)$ 为滤过偏序集，设 $R$ 为环，设 $(\mathfrak{a}_i)_{i\in I}$ 为 $R$ 的一族真理想，使得 $i\geqslant j$ 蕴含 $\mathfrak{a}_i\subset\mathfrak{a}_j$，从而导出商映射 $R/\mathfrak{a}_i\to R/\mathfrak{a}_j$，相应的极限 $\lim\limits_{\mathop{\large\longleftarrow}\limits_{i\in I}}R/\mathfrak{a}_i$ 称作 $R$ 对 $(\mathfrak{a}_i)_{i\in I}$ 的完备化。 ------------ # $3\;$ 形式级数 代数上的准备业已充足。现在，我们可以正式构建形式幂级数。 $\bf Definition\;3.1\quad$设 $M$ 为幺半群，兹定义**幺半群环** $R[M]$： - 元素为积集 $R^M$ 上形如 $(r_m)_{m\in M}$ 的列，至多仅有有限项非零，具有形式： $$f=\sum_{m\in M}r_mm$$ 称 $r_m$ 为 $m$ 在 $f$ 中的**系数**。 - 分别具有加法和乘法如下： $$\left(\sum_{m}r_mm\right)+\left(\sum_{m}s_mm\right)=\sum_{m}(r_m+s_m)m$$ $$\left(\sum_{m}r_mm\right)\cdot\left(\sum_{m}s_mm\right)=\sum_m\left(\sum_{x,y\in M,\,xy=m}r_xs_y\right)m$$ 设 $r,r'\in R,\,m,m'\in M$，容易知道 $R[M]$ 的乘法实际是由 $(rm)\cdot(r'm')=rr'(mm')$ 和分配律所唯一确定的。 显然存在 $M$ 到 $(R[M],\cdot)$ 的幺半群同态 $m\mapsto 1\cdot m$ 和 $R$ 到 $R[M]$ 的环同态 $r\mapsto r\cdot 1$。 $\bf Definition\;3.2\quad$对集合 $\mathcal X$ 上取 $(\mathbf M(\mathcal X),\cdot)$ 为 $\mathcal X$ 的自由交换幺半群，则 $R[\mathcal X]:=R[\mathbf M(\mathcal X)]$ 称为 $R$ 上以 $\mathcal X$ 为**变元集**的**多项式环**，带有自然映射 $\mathcal X\to R[\mathcal X]$。当 $\mathcal X=\{x,y,\dots\}$ 时也写作 $R[\mathcal X]=R[x,y,\dots]$。称映射 $\mathbf M(\mathcal X)\to R[\mathcal X]$ 的像为**单项式**。容易注意到这个定义与本文开头的定义是兼容的。 $\bf Proposition\;3.2\sim3.5\quad$以下命题成立： - $R[\mathcal X]$ 交换当且仅当 $R$ 交换。 - 若 $F$ 为域，则 $F[x]$ 为主理想整环。 - 任意环同态 $R\to R'$ 和映射 $\mathcal X\to\mathcal X'$ 诱导自然的环同态 $R[\mathcal X]\to R'[\mathcal X']$。 - 对任意集合 $\mathcal X,\mathcal Y$ 有自然同构 $R[\mathcal X][\mathcal Y]=R[\mathcal Y][\mathcal X]=R[\mathcal X\sqcup\mathcal Y]$。 以上内容大半在前文中已经提到。对于最后一个结论，证明也是显然的。 $\bf Definition\;3.6\quad$设 $F$ 为域，$F[\mathcal X]$ 的分式域 $F(\mathcal X)$ 称为 $F$ 上以 $\mathcal X$ 为变元集的**有理函数域**。 $\bf Definition\;3.7\quad$定义 $\bf n$ **元形式幂级数环** $R[[X_1,\dots,X_n]]$ 为 $R[X_1,\dots,X_n]$ 对以下理想族的完备化： $$ \mathfrak a_i:=\langle X_1,\dots,X_n\rangle^i,\qquad\mathfrak a_1\supset\mathfrak a_2\supset\cdots $$ $\bf Definition\;3.8$ **（形式洛朗级数）** $\quad$设 $R$ 是交换环，记 $\mathbf{X^{a}}:=X_1^{a_1}\cdots X_n^{a_n}$，取 $R[[\mathbf X]]$ 的乘性子集 $S:=\left\{\mathbf{X^{a}}:|a|\geqslant 0\right\}$，则 $R[[X_1,\dots,X_n]]$ 对 $S$ 的局部化记为 $R(\!(X_1,\dots,X_n)\!)$，称作 $R$ 上的 $\bf n$ **元形式 $\bf Laurent$ 级数环**。 ------------ ### 参考 1. 后半部分是《代数学方法》的减压分馏版。