广州塔的秘密
一只书虫仔
·
·
个人记录
今天我们继续聊聊圆锥曲线。
双曲线的第一定义
双曲线的第一定义
平面上到两个定点F_1,F_2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F_1F_2|)的点的轨迹称为双曲线，其中F_1,F_2称为双曲线的焦点。根据双曲线的定义，可以推导其方程。
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程
坐标平面xOy中，中心在原点，焦距为2c，实轴长为2a(c>a>0)的双曲线的标准方程为
$2.$焦点在$y$轴上时，$\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$；
其中$b=\sqrt{c^2-a^2}$，为双曲线的虚半轴长。
在推导过程中，我们直接得到了双曲线的焦半径公式$\text{I}$。
## 双曲线的基本量
### 双曲线的基本量
$1.$双曲线的范围
考虑双曲线
$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$$
由双曲线的方程可得双曲线在对角区域
$$M=\left\{(x,y)|\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)\left(\dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}\right)>0\right\}$$
内部，同时有$x\leqslant-a$或$x\geqslant a$；
$2.$顶点、实轴与虚轴
点$A(-a,0)$，点$B(a,0)$分别称为双曲线的左、右**顶点**，线段$AB$称为双曲线的**实轴**；设点$C(-b,0),D(b,0)$线段$CD$称为双曲线的**虚轴**。双曲线的实轴长和虚轴长分别为$2a$和$2b$。
$3.$离心率
定义$e=\dfrac{c}{a}$为双曲线的**离心率**，它刻画了双曲线的形状，当$e\to1$时，双曲线的形状趋于$"\ulcorner"$；当$e\to+\infty$时，双曲线的形状趋于$"1"$。
$4.$渐近线
双曲线有两条渐近线$y=\pm\dfrac{b}{a}x$。
好，今天我们就聊到这里。