数分一
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学习·文化课
实数与数列极限
关于命题
一个经典的例子是将 Cauchy 收敛准则的 $\forall p$ 提到 $\exist N$ 之前。
连续与一致连续定义的差异也体现于此。
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### Archimedes 性
> $\forall x \in \mathbb{R}_+,\forall y \in \mathbb{R},\exist n \in \mathbb{N}_+, \text{s.t. }nx>y.
这是实数域从有序域中脱颖而出的关键，让较弱的 Cauchy 收敛定理、区间套定理能和其他几个兄弟坐上一桌。
它有大量的等价表述，这里暂时不加证明地给出：
\begin{aligned}
&\forall x \in \mathbb{R},\exist n \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n>x.\\
&\forall x \in \mathbb{R}_+,\exist n \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }nx>1.\\
&0 \text{ 是 } \{\frac{1}{n}\} \text{ 的聚点}.\\
&\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0.\\
&\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}=0.
\end{aligned}
这意味着看似显然的 \frac{C}{\infty}=0 是由 Archimedes 性背书的。
Bernoulli 不等式
\begin{aligned}
1)\quad&(1+x)^n \geq 1+nx &(x>-1)\\
2)\quad&(1+x)^n \geq 1+\binom{n}{2}x^2 &(x \geq 0)\\
Ex.\quad&(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k
\end{aligned}
只是二项式定理罢了。
因为可以把次数丢下来，有时候用它对指数的式子做化简。
数列收敛
感性地说，就是 n 无限增大时，|a_n-a| 可以任意小。
严格地说：
\begin{aligned}
&\lim_{n \to \infty}a_n=a\\
\Leftrightarrow &(\exist a \in \mathbb{R},)\forall \varepsilon>0,\exist N \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n>N 时,总有 |a_n-a|<\varepsilon.\\
\Leftrightarrow &(\exist a \in \mathbb{R},)\forall \varepsilon>0,\exist N \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n,m>N 时,总有 |a_n-a_m|<\varepsilon.\\
\Leftrightarrow &(\exist a \in \mathbb{R},)\forall \varepsilon>0,\exist N \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n>N 时,\forall p \in \mathbb{N}_+,总有 |a_n-a_{n+p}|<\varepsilon.\\
\end{aligned}
后两条表述来自 Cauchy 收敛准则。
除了上面的等价表述，迫敛性定理和单调有界定理也是证明数列收敛的方法。
迫敛性定理：
设 \lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} b_n=a，数列 \{c_n\} 满足：
存在 N_0>0，\text{s.t. }n>N_0 时，有 a_n \leq c_n \leq b_n，则 \lim_{n \to \infty} c_n=a.
发散即收敛的负命题（命题的否定）。
数列收敛性质
-
极限唯一。
-
保不等式性：n \to \infty 时，a_n,b_n 之间的序关系与 a,b 之间的保持一致。
约定：\lim_{n \to \infty} a_n=a,\lim_{n \to \infty} b_n=b.
( 1 ) a>b \Rightarrow \exist N \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n>N 时,有 a_n>b_n.
( 2 ) \exist N_0 \in \mathbb{N}_+,\text{s.t. }n>N_0 时,有 a_n \geq b_n\Rightarrow a \textcolor{red}{\geq} b.
将 b_n 替换为常数列即可得到保号性。
-
有界。
此处 收敛 \Rightarrow 有界。
对单调数列有 收敛 \Leftrightarrow 有界，即单调有界定理。
-
任意子列均收敛，且极限相等。（常用逆否命题）
我们称 \{a_n\} 的一个无限子序列 \{a_{n_k}\} 为 \{a_n\} 的一个子列。
相对的，有界数列存在收敛子列，即致密性定理。
-
可进行有限次四则运算。
确界原理
有界必有确界，确界唯一。
确界定义：
\alpha=\sup S \Leftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
1\degree&\forall x \in S,x \leq \alpha. &(\alpha 为 S 的上界)\\
2\degree&\forall \varepsilon>0,\exist x_0 \in S,\text{s.t. }x_0>\alpha-\varepsilon. &(\alpha “紧邻” S)\\
2\degree&\exist x_n \in S(n=1,2,\dots),\text{s.t. }\lim_{n \to \infty} x_n=\alpha. &(上一条的等价表述)
\end{aligned}
\right.
同理有 \inf S 的定义。
函数与函数极限
映射
我们用 f:X \to Y 表示从非空集合 X 到非空集合 Y 的映射 f。
将 x 的对应元素 y 记作 f(x)，即 y=f(x):X \to Y，并称：
-
-
值得注意的是，这里的一个原像只能对应一个像，但一个像可能对应多个原像。
如果每个像对应的原像也唯一，我们称 f 为单射。
显然 X 是原像的集合，我们将其称为原像集，记作 D_f。
那像的集合是谁呢？是 Y 吗？
不一定，应该是所有 X 中元素在映射 f 下对应元素组成的集合，我们将其称为像集，记作 R_f。
如果 R_f=Y，我们称 f 为满射。
如果一个映射既是单射又是满射，我们称其为双射（又称一一对应或一一映射）。
函数
若 D \subseteq \mathbb{R}，则称 f:D \to \mathbb{R} 是定义在 D 上的函数，记作：
y=f(x),x \in D
并称 x 为自变量，y 为因变量，D 为定义域，R_f=f(D) 为值域。
定义域与对应法则是函数的两个要素，两个函数相等意味着两个函数的两个要素均相同。
单调函数必有反函数，且反函数具有单调性。
我们称常、指、对、幂、三角、反三角函数为基本初等函数，它们都在定义区间内连续。
我们称基本初等函数进行有限次四则/复合运算得到的函数为初等函数。
函数极限
首先模仿数列极限，|x| 无限增大时，|f(x)-A| 可以任意小，记作 \lim_{x \to \infty} f(x)=A。
然后考虑函数和数列的区别：可以把数列看成 \mathbb{N}_+ \to \mathbb{R} 的映射。
相比定距的 \mathbb{N}_+，\mathbb{R} 具有稠密性，极限不仅能体现在无穷远上，还能体现在无穷近上，即 \lim_{x \to x_0}f(x)=A。
函数的连续性
一致连续证明
\begin{aligned}
证:&\\
&记 \lim_{x \to \infty} f(x)=A.\\
&对 \forall \varepsilon > 0,\exist X > 0,s.t.|x|>X 时，有 |f(x)-A|<\varepsilon.\\
\Rightarrow &\forall x_1,x_2 \in (-\infty,-X) \cup (X,+\infty),有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.\\
\\
&f(x)在[-X-1,X+1]上连续.\\
\Rightarrow &f(x)在[-X-1,X+1]上一致连续.\\
\Rightarrow &对上述 \varepsilon >0,\exist \delta_0>0,\forall x_1,x_2 \in [-X-1,X+1],\\
& 当|x_1-x_2|<\delta 时,有|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.\\
\\
&对上述 \varepsilon>0,取 \delta=\min(\delta_0,1),对\forall x_1,x_2 \in \mathbb{R},不妨设 x_1<x_2,\\
&若|x_1-x_2|<\delta,则下列情况至少有一项成立:\\
1\degree &x_1,x_2 \in (-\infty,-X) \cup (X,+\infty).\\
2\degree &x_1,x_2 \in [-X-1,X+1].\\
\Rightarrow&此时|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.\\
\Rightarrow&f(x)在\mathbb{R}上一致连续.
\end{aligned}
微分与导数
一个关于 n 阶导的问题
当然可以 Leibniz，但问题来自另一个做法：
令 g(x)=f(3-x)=\frac{(3-x)^{n+1}}{x}=\frac{3^{n+1}}{x}-x^n+P(x)\\
\frac{d^ng}{dx^n}=[(3-x)']^n\frac{d^nf}{dx^n}
后面的步骤我们先略去，看到这里应该有人和我一样会不禁想是否有下面的式子：
\frac{d^nf}{dx^n}=\left(\frac{dt}{dx}\right)^n\frac{d^nf}{dt^n}
很可惜，这是错的，因为高阶微分不具有形式不变性。
那为什么上面的式子是正确的？
\begin{aligned}
&\text{Faà di Bruno }公式:\\
&若 f,g 均 m 阶可微,则:\\
&\frac{d^mg(f(x))}{dx^m}=\sum\frac{m!}{\prod_{i=1}^m (b_i!)}g^{(\sum_{i=1}^m b_i)}(f(x))\prod_{i=1}^m(\frac{f^{(i)}(x)}{i!})^{b_i}\\
&其中求和对满足 \sum_{i=1}^m i \cdot b_i=m 的 \mathbb{N}_0^m 进行.
\end{aligned}
而上面例子中的内层函数只有一阶，将其余项全部沉默，则有：
\frac{d^mg(f(x))}{dx^m}=g^{(m)}(f(x))[f'(x)]^m