狄利克雷复杂的周期

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隔了好几节课，我们把之前没讲完的函数的对称性和周期性讲了隔山打牛

中心对称函数与对称性完结

函数f(x)的图象关于(a,b)中心对称，当且仅当f(a+x)=f(a-x)对定义域内的x恒成立。即自变量的和为2a时，函数值的和为2b是定值。函数f(x)的图象关于(a,b)对称，与函数y=f(x+a)-b是奇函数等价；常见的中心对称函数有一次分式函数、三次函数、正弦型函数与正切函数等。奇函数是特殊的中心对称函数。（别忘了偶函数是特殊的轴对称函数）

下面我们来看看怎么寻找具有对称型函数的对称位置。

若f(x)关于x=a或点(a,b)对称，则其定义域、单调区间、极（最）值点、零点均关于a对称；特别的，若f(x)关于点(a,b)对称，则其值域关于b对称且若\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)存在，那么

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)+\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2b

函数的周期性

周期性描述的是指当自变量相差某个非零常数时，函数值相等，这个定值就是函数的周期，定义域为D的函数f(x)是周期函数即存在非零常数T。

\forall x\in D,f(x+T)=f(x)

其中T是f(x)的一个周期，如果f(x)的所有正周期内有一个最小的，则称这个最小的正数称为f(x)的最小正周期，简称周期。周期函数f(x)的周期T是一个与x无关的非零常数，一个周期函数不见得有最小正周期，如狄利克雷函数

D(x)=\begin{cases}1,x\in\mathbb{Q}\\0,x\notin\mathbb{Q}\end{cases}

是周期函数，所有的有理数都是它的周期，但它没有最小周期。如果T是f(x)的周期，那么nT,n\in\mathbb{Z},n\ne0是f(x)的周期；如果T_1,T_2都是f(x)的周期，那么T_1+T_2是f(x)的周期，结合前面的性质知，T_1,T_2的任意整系数的线性组合都是f(x)的周期；如果f(x)有最小正周期T_0，那么f(x)的任何周期都是T_0的整数倍。

下面我们来说说双对称性函数的周期性。

$2.$若函数$f(x)$同时关于点$(a,0)$和点$(b,0)$对称，其中$a\ne b$，则$f(x)$是周期为$2|a-b|$的函数； $3.$若函数$f(x)$同时关于直线$x=a$和点$(b,0)$对称，其中$a\ne b$，则$f(x)$是周期为$4|a-b|$的函数。 今天我们就聊到这里。 [上一讲-米粒下的象棋盘：指对幂函数2](https://www.luogu.com.cn/blog/20070730bourne/di-wu-jiang) [下一讲-埃拉托色尼测地球：三角函数1](https://www.luogu.com.cn/blog/20070730bourne/di-qi-jiang) [返回总览](https://www.luogu.com.cn/blog/20070730bourne/zong-lan)