数学总结 II：概率期望入门
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个人记录
引注：基础概率论，OI常用。
$E(x)$ ：不定变量 $x$ 的期望
$E(x)=\int P(x=w)w$ 期望的定义式
$E(x)=\int P(p)E(x|p)$ 期望的转移式
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提示：往下看之前，画个韦恩图
反事件：A不发生的事件。
$P(!A)=1-P(A)
积事件：A,B都发生的事件。
特别地，若 A,B 互斥，则 P(AB)=0。
若 A\subset B，则 P(AB)=P(A)。
A在B下的子事件：即在 B 下 A 发生的事件。
记作 A|B，容易得到 P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}。
和事件：A,B至少有一个发生的事件。
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
差事件：即A发生但B不发生的事件。
P(A-B)=P(A)-P(AB)
互不影响事件（独立事件）
独立事件可能有交集（即不一定互斥），但是他们互不影响。
即： 无论 B 是否发生，A 的发生概率不变。
所以有 P(A)=P(A|B),\text{A,B独立} 。
乘法原理的推导
假设 A,B 独立，则 P(AB)=P(A)P(B) （乘法原理）。
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有了这些之后，我们来推导几个结论。
$E(x)=\sum_{-\infty}^{\infty}P(x=w)w
$=\sum_{-\infty}^{\infty}w(P(x\ge w)-P(x\ge w+1))
=\sum_{-\infty}^{\infty}wP(x\ge w)-\sum_{-\infty}^{\infty}(w-1)P(x\ge w)
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$E(x)=\sum_{\color{red}{0}}^{\infty}P(x=w)w
=\sum_{0}^{\infty}P(x\ge w-x\ge(w+1))w
=\sum_{0}^{\infty}w(P(x\ge w)-P(x\ge w+1))
=\sum_{1}^{\infty}wP(x\ge w)-\sum_{1}^{\infty}(w-1)P(x\ge w)