已完成今日 A+B Problem 大学习

JXR_Kalcium · 2026-02-03 22:21:32 · 休闲·娱乐

看到了一道恶搞的简单数学题，尝试小小做一下。大部分都是乱搞，也未经严谨验证，其中有 AI 的一点贡献，若有错误请指出，我将改正并严肃学习。/ll

:::info[这家伙在说什么呢。]

内容来自 Missile。/bx

题目描述

给定两个整数 a,b，求下列式子的值。

输入格式

一行两个整数 a,b。

输出格式

一行一个整数，表示上述式子的值。

样例输入

114514 1919810

样例输出

2034324

数据范围限制

对于 100\% 的数据，a,b 满足

:::

证明

因为题目描述很明显就是 a+b 的意思，所以这里只证怎样构造能使原式 =a+b 并解释数据范围限制的含义。有一说一真的很好看。/kk

0. 问题转化

考虑把原式 F 分割一下，我分成了 16 个部分，变为 F=T_1+T_2+\cdots+T_{16} 的形式，再考虑构造使 T_1=a,T_2=b,T_{3\sim 16}=0。

1. 构造 T_1=a

\begin{aligned}T_1=\displaystyle&\mathfrak{S}\left(\bigoplus_{\kappa=1}^{\aleph_1}\mathfrak{G}_{\kappa}\otimes\bigwedge_{\lambda=1}^{\beth_2}\mathfrak{H}_{\lambda}\right)\times\coprod_{\mu\in\mathfrak{M}}\left[\varprojlim_{\nu\to\infty}\left(\bigsqcup_{\xi=1}^{\beth_\omega}\mathfrak{J}_{\xi,\mu}\right)\right]\oplus\left(\bigvee_{\pi\in\Pi}\mathfrak{K}_\pi\right)\otimes\left(\bigcap_{\rho=1}^{\mathfrak{d}}\mathfrak{L}_\rho\right)\\&\times\exp\left[\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\left(-1\right)^{n\left(n+1\right)/2}}{n!}\oint_{\Gamma_n}\dfrac{\prod_{k=1}^n\left(\zeta\left(s_k\right)\Gamma\left(s_k\right)\text{Li}_{s_k}\left(e^{2\pi i/k}\right)\right)}{\sum_{m=1}^n\left(s_m^2+\dfrac{1}{s_m^3}\right)\prod_{p\neq m}\left(s_p-s_m\right)}ds_1\cdots ds_n\right]\\&\times\text{Tr}\left(\bigoplus_{r=1}^{1000}\begin{bmatrix}\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{11}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{12}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{1r}\\\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{21}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{22}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{2r}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{r1}&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{r2}&\cdots&\mathscr{D}^{\left(r\right)}_{rr}\end{bmatrix}^{\otimes r}\right)\times\prod_{\substack{p\text{ prime}\\p\equiv1\ \left(\text{mod }4\right)}}\left(1+\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{p^4}+\cdots+\dfrac{1}{p^{2\lfloor\log_2p\rfloor}}\right)\end{aligned}

考虑把第一部分（第一行）的值构造为 a，剩下的乘法项（其它部分）构造为 1 即可。

1.1 设置基数与索引集

令 \aleph_1=\beth_2=\beth_\omega=\mathfrak{d}=\mathfrak{M}=\Pi=1，这样所有无穷运算都能退化为有限或单元素运算。

1.2 新定义

令 \mathfrak{G}_1=a,\mathfrak{H}_1=1（乘法单位元）并定义运算 \otimes 为实数乘法（其实一般地来讲就是环的乘法）。然后如果我们将 a 视为环中元素，1 是单位元，则有

令 \mathfrak{S}:\text{该环}\to\mathbb{R} 为恒等映射（如果环是 \mathbb{R} 或 \mathbb{Z} 的子集）则有

令 \mathfrak{J}_{1,1}=1（单位元）。

• 对于 \displaystyle\bigsqcup_{\xi=1}^{1}\mathfrak{J}_{\xi,1}，可以将 \mathfrak{J}_{1,1} 视为单点集 \{1\} 的集合运算，或者在不交并意义下可以视为基数 1。

• 对于 \displaystyle\varprojlim_{\nu\to\infty}，这里只有一个逆向系统（虽然 \nu\in\mathbb{N}，但是每个 \nu 都能得到同一个集合 \{1\}），逆向极限是 \{1\}。

• 对于 \displaystyle\coprod_{\mu\in\{1\}}，余积（集合的不交并）是单点集 \{1\}，对其赋予基数 1。

在数值乘法中，我们可以将这个 “余积的基数” 作为数值 1。于是就有

令 \mathfrak{K}_1=0,\mathfrak{L}_1=1，则有

我们定义第二个 \otimes 为乘法则有

1.3 处理第一部分

\begin{aligned}T_2=&\lim_{\substack{\epsilon\to0^+\\\delta\to0^-\\\eta\to\infty}}\dfrac{\partial^{100}}{\partial\alpha_1\cdots\partial\alpha_{100}}\left[\int_{\mathbb{R}^{100}}e^{i\langle\mathbf{k},\mathbf{x}\rangle}\dfrac{J_1\left(\|\mathbf{k}\|\right)Y_2\left(\|\mathbf{k}\|\right)K_3\left(\|\mathbf{k}\|\right)I_4\left(\|\mathbf{k}\|\right)}{\|\mathbf{k}\|^{100}+\epsilon\|\mathbf{k}\|^{98}+\delta\|\mathbf{k}\|^{96}+\eta\|\mathbf{k}\|^{94}+1}d^{100}\mathbf{k}\right]\\&\times\sum_{n_1,n_2,\ldots,n_{50}=0}^\infty\dfrac{\Gamma\left(n_1+n_2+\cdots+n_{50}+1\right)}{n_1!n_2!\cdots n_{50}!\cdot\zeta\left(2n_1+3n_2+5n_3+\cdots+229n_{50}+1\right)}\\&\times\left(\bigcap_{\ell=1}^{\infty}\left\{\mathbf{z}\in\mathbb{C}^\ell:\left|\sum_{j=1}^\ell z_j^j\right|<e^{-\ell}\right\}\right)\cup\left(\bigcup_{d=1}^\infty\left\{\mathbf{w}\in\mathbb{H}^d:\|\mathbf{w}\|^2=\zeta\left(2d\right)\right\}\right)\end{aligned}

可以把第一部分（第一行）的值构造为 b，剩下部分都是 1。但是从上往下一个比一个简单。/oh

2.1 处理第一部分

\dfrac{\partial^{100}}{\partial\alpha_1\cdots\partial\alpha_{100}}\left[\int_{\mathbb{R}^{100}}e^{i\langle\mathbf{k},\mathbf{x}\rangle}\dfrac{J_1\left(\|\mathbf{k}\|\right)Y_2\left(\|\mathbf{k}\|\right)K_3\left(\|\mathbf{k}\|\right)I_4\left(\|\mathbf{k}\|\right)}{\|\mathbf{k}\|^{100}+\epsilon\|\mathbf{k}\|^{98}+\delta\|\mathbf{k}\|^{96}+\eta\|\mathbf{k}\|^{94}+1}d^{100}\mathbf{k}\right]

我们可以令

为

作为 \mathbb{R}^{100} 上的分布，这样就与 \epsilon,\delta,\eta 无关了 （写这些有啥用）。然后要对测试函数 e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} 计算导数。

由分布理论有

再导，由 \dfrac{\partial}{\partial k_j}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}=ix_je^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} 可推出

所以

可得积分值

然后浅浅换个元，记 x_j=\alpha_j 可得 \displaystyle I=b\prod_{j=1}^{100}\alpha_j，再求导。

即为

2.2 处理第二部分

\sum_{n_1,n_2,\ldots,n_{50}=0}^\infty\dfrac{\Gamma\left(n_1+n_2+\cdots+n_{50}+1\right)}{n_1!n_2!\cdots n_{50}!\cdot\zeta\left(2n_1+3n_2+5n_3+\cdots+229n_{50}+1\right)}

发现所有 n_i=0，那就好做啦。原式即为

重新定义一波 \zeta 函数。对于函数 \zeta(s)，

• 当 s=1 时，\zeta(s)=1。

• 否则 \zeta(s)=+\infty。

然后就做完了。

2.3 处理第三部分

\left(\bigcap_{\ell=1}^{\infty}\left\{\mathbf{z}\in\mathbb{C}^\ell:\left|\sum_{j=1}^\ell z_j^j\right|<e^{-\ell}\right\}\right)\cup\left(\bigcup_{d=1}^\infty\left\{\mathbf{w}\in\mathbb{H}^d:\|\mathbf{w}\|^2=\zeta\left(2d\right)\right\}\right)

这东西是两个集合的并，要变成一个数便于相乘。

先定义一下集合 S 的权值 \text{val}(S)，如果 S 是空集则权值为 0，否则为 1（就是看集合里是否有元素的布尔值）。于是考虑让第一个集合的权值变为 1（也就是有元素），第二个变为 0（没有元素），这样它们的并集就是 1 了。

首先构造第一个集合。令一个向量 \mathbf{v}=(0,0,\cdots,0)\in\mathbb{C}^\ell，则 \displaystyle\sum_{j=1}^\ell 0^j=0，而且 e^{-\ell}>0 成立。所以这个 \mathbf{v} 属于每个 \displaystyle\left\{\mathbf{v}\in\mathbb{C}^\ell:\left|\sum_{j=1}^\ell z_j^j\right|<e^{-\ell}\right\}，因此 \displaystyle\bigcap_{\ell=1}^\infty 这个集合一定有元素，因为它至少包含零序列截断的一部分。

这里要注意，\displaystyle\bigcap_{\ell=1}^\infty 表示对所有 \ell 的交集，要求对于所有 \ell，都有一个无限维向量 \mathbf{v}，它的前 \ell 个分量满足条件。零向量 (0,0,\cdots) 可以看成无数维，显然满足所有条件，所以交集不是空集。

然后处理第二个集合。我们可以定义 \mathbb{H}^d 是某个虚构空间，并在这个模型中定义 \zeta(2d)=-1，那么方程 \|\mathbf{w}\|^2 = -1 在实范数下无解，所以这些集合都是空集。或者还有个更简单的方法，就是直接定义第二个集合为空集。

2.4 合并所有部分

注意到第一部分化完之后跟 \epsilon,\delta,\eta 都没有毛线关系，于是就可以愉快地合并了。

后面要构造的东西全是 0 就简单多了。

3. 构造 T_{3\sim 16}=0

这些东西都是单个值或乘积形式，只要让一个因式为 0 即可。比较好玩（）

3.1 构造 T_3=0

T_3=\dfrac{1}{\left(2\pi i\right)^{100}}\oint_{|z_1|=R_1}\cdots\oint_{|z_{100}|=R_{100}}\dfrac{\prod_{j=1}^{100}\left(\sin\left(z_j\right)\cos\left(z_j^{-1}\right)\tan\left(e^{z_j}\right)\cot\left(\ln\left(1+z_j\right)\right)\right)}{\prod_{1\leq j<k\leq100}\left(z_j-z_k\right)\cdot\prod_{m=1}^{100}\left(z_m^{1000}+z_m^{500}+1\right)}dz_1\cdots dz_{100}

在我们的模型中，可以新定义 \sin(z_j)\equiv0（就是 \sin 的值恒为 0），因此被积函数分子恒为 0，积分值为 0，于是就有

3.2 构造 T_4=0

T_4=\dim_{\mathbb{Q}}\left(\bigoplus_{n=1}^\infty\mathbb{Q}\left(\sqrt[n]{2}\right)\otimes\mathbb{Q}\left(\zeta_n\right)\right)\times\text{rank}\left(\bigotimes_{p\text{ prime}}\mathbb{Z}_p\right)

考虑平凡域扩张，定义 \mathbb{Q}\left(\sqrt[n]{2}\right)=\{0\}，那么每个域都是零空间，直和也是零空间，则 \dim_{\mathbb{Q}}(\cdots)=0，乘上任何秩都是 0，因此

3.3 构造 T_5=0

T_5=\int_{\mathscr{M}_{g,n}}\left(\prod_{i=1}^n\psi_i^{k_i}\right)\times\exp\left(\sum_{h=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty\dfrac{\lambda_h\kappa_m}{h!m!}\right)\times\det\left(\dfrac{\partial^2\mathscr{F}}{\partial t_i\partial t_j}\right)_{i,j=1}^{1000}

我们可以随便取个 g,n 使模空间 \mathscr{M}_{g,n} 根本不存在，于是在空集上积分为 0 （这什么神秘解法）。

3.4 构造 T_6=0

T_6=\dfrac{\mathscr{L}\left\{t^{\alpha-1}E_{\beta,\gamma}\left(\omega t^\delta\right)\right\}\left(s\right)\times\mathscr{F}\left\{e^{-t^2}H_n\left(t\right)\right\}\left(\omega\right)\times\mathscr{Z}\left\{\dfrac{1}{1-q^s}\right\}\left(t\right)}{\mathscr{H}\left\{\dfrac{d^n}{dt^n}\left(t^\mu e^{-\lambda t}\right)\right\}\left(s\right)\times\mathscr{M}\left\{f\left(t\right)t^{s-1}\right\}\left(z\right)}

这个有点含金量（但不多）。考虑定义 Mittag-Leffler 函数 E_{\beta,\gamma}(x)\equiv0，这样上面的拉普拉斯变换 \mathscr{L}\left\{t^{\alpha-1}E_{\beta,\gamma}\left(\omega t^\delta\right)\right\}\left(s\right)=0，整个式子也为 0。

3.5 构造 T_7=0

T_7=\sum_{\sigma\in S_{1000}}\text{sgn}\left(\sigma\right)\prod_{j=1}^{1000}\left(\int_0^1\dfrac{x^{\sigma\left(j\right)}}{1+x^{\sigma\left(j\right)^2}}dx\right)\times\chi_{\text{irr}}\left(\sigma\right)\times\dim V_\sigma

也水，定义一下所有复不可约特征 \chi_{\text{irr}}\left(\sigma\right)\equiv0，则原式每一项均为 0。

3.6 构造 T_8=0

\begin{aligned}T_8=&\iiint\limits_{\mathbb{R}^{3}}\nabla\times\left(\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\right)\cdot d\mathbf{S}\times\oint_{\partial\Omega}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\times\iint_{\Sigma}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{A}\\&\times\left[\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)+\nabla\cdot\left(u\nabla u\right)+\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}\right]_{u=e^{i\left(kx-\omega t\right)}}\end{aligned}

事实上对于 r>0，\nabla\times\left(\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\right) 确实为 0，但现在我们在分布意义下定义全空间为 0，即令 \nabla\times\left(\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\right)\equiv0，那么第一重积分就变成 0 啦。\left(u\nabla u\right) 可爱捏。

3.7 构造 T_9=0

T_9=\text{Res}_{s=1}\zeta\left(s\right)\times\text{Res}_{z=0}\Gamma\left(z\right)\times\text{Res}_{w=\infty}\text{Li}_s\left(w\right)\times\prod_{\text{singularities}}\left(1-\dfrac{1}{z_\nu}\right)

奇点是什么鬼？ 考虑定义 \zeta(s) 在 s=1 处解析（无极点），那不就是 \text{Res}_{s=1}\zeta(s)=0 了吗。

3.8 构造 T_10=0

T_{10}=\dim_{\mathbb{C}}H^0\left(X,\mathscr{O}\left(D\right)\right)-\dim_{\mathbb{C}}H^1\left(X,\mathscr{O}\left(D\right)\right)+\dim_{\mathbb{C}}H^2\left(X,\mathscr{O}\left(D\right)\right)-\cdots

有点抽象这个。我们可以任取一点 X 为一点，令层 \mathscr{O}(D) 为平凡零层，则所有上同调群 H^i=0，维数都是 0，那么交替和就是 0-0+0-\cdots=0。

3.9 构造 T_{11}=0

T_{11}=\dfrac{1}{\#G}\sum_{g\in G}\chi\left(g\right)\times\dfrac{1}{\text{Vol}\left(M\right)}\int_M\text{Ric}\left(g\right)dV_g\times\prod_{i=1}^n\left(1-\dfrac{1}{p_i^{s_i}}\right)^{-1}

注意到可以令特征标为平凡特征标，即 \chi\equiv0，那求和项就均为 0 了。

3.10 构造 T_{12}=0

T_{12}=\mathscr{P}\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m=n}^\infty A_m\right)\times\mathbb{E}\left[e^{itX}\right]\times\text{Cov}\left(X,Y\right)\times\text{Corr}\left(Z,W\right)

叕新定义概率测度一定为零测度，即 \mathscr{P}\equiv0，那么第一个因子就是 0 了。

3.11 构造 T_{13}=0

T_{13}=\dfrac{d}{dt}\left\langle\psi\left|\hat{H}\right|\psi\right\rangle\times\text{Tr}\left(e^{-\beta\hat{H}}\right)\times\prod_{n=1}^\infty\left(1+e^{-\beta\epsilon_n}\right)

依旧 hyw 环节。令定态波函数 \psi 为 \hat{H} 的本征态，则 \langle\psi|\hat{H}|\psi\rangle 为常数，它对 t 的导数为 0。

3.12 构造 T_{14}=0

T_{14}=\int\mathscr{D}[\phi]e^{-S[\phi]}\mathcal{O}[\phi]\times\det\left(\dfrac{\delta^2S}{\delta\phi\delta\phi}\right)^{-1/2}\times\exp\left(-\dfrac{1}{2}\phi\cdot\Delta^{-1}\cdot\phi\right)

我们可以取作用量 S[\phi]\equiv+\infty，例如 S[\phi]=\int(\nabla\phi)^2+\infty\cdot\phi^2，那么 e^{-S[\phi]}\equiv0，路径积分泛函也为 0。

3.13 构造 T_{15}=0

T_{15}=\sum_{\text{diagrams}}\dfrac{\left(-i\lambda\right)^n}{n!}\int d^4x_1\cdots d^4x_n\langle0|T\left(\phi\left(x_1\right)\cdots\phi\left(x_n\right)\right)|0\rangle

这不是一眼秒吗？ 令耦合常数 \lambda=0，然后每一项系数就都为 0 了。

3.14 构造 T_{16}=0

T_{16}=\text{Index}\left(D\right)

和一位？诗人都会做。观察到 D 是某个椭圆算子，那就可以令这东西为零算子，那它的指标 \text{Index}(D)=0。

4. 合并所有部分

终于处理完了 QAQ

构造完毕。

5. 数据范围限制

一条条来看。其实条件 5 很明显就是逗你玩的（

5.1 条件 1（紧性）

\begin{aligned}&\text{对 }a:\text{拓扑空间 }\left(X_a,\tau_a\right)\text{ 是紧的},\\&\displaystyle\text{其中 }X_a=\left\{\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\in\mathbb{R}^4\mid\sum_{i=1}^4x_i^2\leq\left(\dfrac{|a|}{10^9}+\delta\right)^2\right\},\tau_a\text{ 为欧氏拓扑};\\&\text{对 }b:\text{拓扑空间 }\left(X_b,\tau_b\right)\text{ 是紧的},\\&\displaystyle\text{其中 }X_b=\left\{\left(y_1,y_2,y_3,y_4\right)\in\mathbb{R}^4\mid\sum_{i=1}^4y_i^2\leq\left(\dfrac{|b|}{10^9}+\delta\right)^2\right\},\tau_b\text{ 为欧氏拓扑}\end{aligned}