【数学】海涛定理

\huge\textsf{海涛定理}

\color{#dc2430}\textsf{过抛物线上一点向对称轴作垂线，垂足到顶点的距离比垂线段长度的平方，等于二次项系数的绝对值．}

\textsf{证明很简单：}

\textsf{考虑特殊情况：设抛物线为}y=ax^2

\textsf{则顶点}A\;(0,\;0)

\textsf{又设抛物线上一点}P\;(x \;,\;ax^2)

\textsf{作}PB\perp y\textsf{轴，垂足为}B

\textsf{则} AB=ax^2,\;PB =x

\therefore \frac{AB}{PB^2}=\frac{ax^2}{x^2}=a.

\textsf{由于}y=ax^2+bx+c\textsf{能由}y=ax^2\textsf{平移得到，所以对于一切情况成立。}

\textsf{又由于线段的比值一定是正数，}a\textsf{不一定是正数，所以要给}a\textsf{加上绝对值符号。}

\large\textsf{适用于此类题型：}

\small\textsf{抛物线}y=ax^2+bx+c\textsf{与}x\textsf{轴只有一个交点，且经过点}A(x,\;m),\;B(x+n,\;m) , \textsf{则}m\textsf{与}n\textsf{的关系是？}

$\textsf{因为抛物线与}x\textsf{轴只有一个交点，所以顶点一定在}x\textsf{轴上，}

\textsf{则垂足到顶点的距离为垂足纵坐标的绝对值，也就是}|m|

\therefore \frac{|m|}{(\frac{n}{2})^2}=|a|\textsf{，化简得} |m|=\frac{|a|n^2}{4}.

\tiny\textsf{题目里通常会给你a，代入即可，注意m的正负性一定是跟a相同的}

\tiny\textsf{b和c是多少不重要，因为抛物线无论怎么平移结论不变}

\tiny\textsf{至于这位海涛是谁，平几纲目吧有人说叫曾海涛，反正我也不认识qwq}

Update 2020.6.15:

找到了！海涛老师指的是哈尔滨市第17中学曾海涛老师 awa

附录：

1.画图软件：Desmos（函数区）

2.参考：这儿

3.转载请注明出处 \tiny\textbf{（虽然应该不会有人来抄我这个小菜鸡的文章XD）}