循环群的自同构群的自同构群的阶
diamond_153
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个人记录
原谅我下面提到的命题基本不带证明.
首先我们要知道如何计算 \mathsf{Aut}(\mathbb Z_n) 的结构.
$\mathsf{Proof.}$ 令映射 $\varphi:\mathsf{Aut}(G)\times\mathsf{Aut}(H)\simeq\mathsf{Aut}(G\times H)$，且 $\varphi(\alpha,\beta)(x,y)=(\alpha(x),\beta(y))$，则容易证明 $\varphi$ 是同构. $\Box
将 n 质因数分解为 \displaystyle\prod p_i^{a_i}，则 \mathsf{Aut}(\mathbb Z_n)=\displaystyle\prod\mathsf{Aut}(\mathbb Z/p_i^{a_i}\mathbb Z).
- 若 $p=2$，则：
- $\mathsf{Aut}(\mathbb Z/2\mathbb Z)=1$.
- $\mathsf{Aut}(\mathbb Z/4\mathbb Z)=\mathbb Z_2$.
- $\mathsf{Aut}(\mathbb Z/2^a\mathbb Z)=\mathbb Z_2\times\mathbb Z_{2^{a-2}}$，其中 $a>2$.
- 若 $p\ne 2$，则：
- $\mathsf{Aut}(\mathbb Z/p\mathbb Z)=\mathbb Z_{p-1}$.
- $\mathsf{Aut}(\mathbb Z/p^a\mathbb Z)=\mathbb Z_{p-1}\times\mathbb Z_{p^{a-1}}$，其中 $a\ge 2$.
$\mathsf{Proof.}$ 懒证. $\Box
用上面的几个命题，我们可以计算 \mathsf{Aut}(\mathbb Z_n) 的结构.
注意到 $720=2^4\times 3^2\times 5$，故 $\mathsf{Aut}(\mathbb Z_{720})=\mathsf{Aut}(\mathbb Z_{16})\times\mathsf{Aut}(\mathbb Z_{9})\times\mathsf{Aut}(\mathbb Z_{5})$. 又因为 $\mathsf{Aut}(\mathbb Z_{16})=\mathbb Z_2\times\mathbb Z_8$，$\mathsf{Aut}(\mathbb Z_9)=\mathbb Z_2\times\mathbb Z_3$ 且 $\mathsf{Aut}(\mathbb Z_5)=\mathbb Z_4$，故 $\mathsf{Aut}(\mathbb Z_{720})=\mathbb Z_2^2\times\mathbb Z_4\times\mathbb Z_8\times\mathbb Z_3$. $\Box
接下来考虑一个交换群的自同构群的阶. 使用交换群分类定理，把一个群拆成交换 p 群的直积，由于第一个命题，我们只需要考虑交换 p 群的自同构群的阶数.
$$
|\mathsf{Aut}(G)|=\prod_{k=1}^n(p^{d_k}-p^{k-1})(p^{a_k})^{n-d_k}(p^{a_k-1})^{n-c_k+1}
$$
其中 $a_i$ 单调递增，$c_k=\min\{l\mid a_l=a_k\},d_k=\max\{l\mid a_l=a_k\}$.
$\mathsf{Proof.}$ 证明详见[这篇论文](https://arxiv.org/pdf/math/0605185). $\Box
这样就可以得到 |\mathsf{Aut}(\mathsf{Aut}(\mathbb Z_n))| 了.
我们有 $105=3\times 5\times 7$，故 $\mathsf{Aut}(\mathbb Z_{105})=\mathbb Z_2^2\times\mathbb Z_4\times\mathbb Z_3$.
又 $|\mathsf{Aut}(\mathsf{Aut}(\mathbb Z_{105}))|=|\mathsf{Aut}(\mathbb Z_2^2\times\mathbb Z_4)||\mathsf{Aut}(\mathbb Z_3)|$，根据上面的公式计算得答案为 $192\times 2=384$. $\Box