整式递推的精度保留问题

大约两周前，leukocyte 等人跟我反应了一个尝试计算 $g=f^k$ 时发现的现象： 我们使用经典的求导方法 $g'f=kf'g$ 来进行计算，但在 $\bmod p$ 的情况下，递推式由于形如 $na_n = \cdots$，在 $p\mid n$ 的地方是推不下去的。但如果我们在 $\bmod p^2$ 的情况下进行计算呢？显然 $g_p \bmod p$ 的值是正确的，一直到 $g_{2p-1} \bmod p$ 的正确性也都比较显然。但经过测试我们发现不止于此——对于 $<p^2$ 的项，$g_n \bmod p$ 的值都是正确的！因此我们很自然地想要提问： - 如何证明？ - 将 $\bmod p^2$ 换成 $\bmod p^e$ 之后会是怎么样的？ - 对于一些其他的递推式，我们有没有类似的性质？ 我的能力是有限的，不可能一下解决所有问题，姑且在此先丢出一个想法。 我们回顾等式 $g'f-kf'g=0$，对于同余运算，我们认为在 $\bmod p^2$ 意义下的这样一个 $g$ 实际上满足的是一个被扰动的等式 $g'f - kf'g = p^2 \mathcal E$，其中 $\mathcal E$ 是扰动项（把整个问题看做 $\mathbb Q_p[[x]]$ 上考虑更为自然，这样就是说 $\mathcal E$ 是某一个属于 $\mathbb Z_p[[x]]$ 的项）。变形就有 $(\ln g)'=k(\ln f)' + p^2\mathcal E$。也即 $$ g = f^k \cdot \exp \left(\int p^2 \mathcal E \,\mathrm{d} x\right) $$ 积分之后，在次数 $<p^2$ 的部分我们就有 $g = f^k \cdot \exp (p^2\mathcal E_1 + p \mathcal E_2(x^p))$。容易验证最坏的情况 $\exp p^2x$ 和 $\exp p x^p$ 都不会污染 $\bmod p$ 的结果。 那么不难类比，如果我们 $\bmod p^e$，所得的结果应当是在 $<p^e$ 的部分，有 $$ g = f^k \cdot \exp\left( p^e \mathcal E_1(x) + p^{e-1} \mathcal E_2(x^p) + \cdots + p \mathcal E_e(x^{p^{e-1}}) \right) $$ 考虑数 $\dfrac{(p^j x^{p^{e-j}})^n}{n!}$ 的质因子数，是 $jn - (\lfloor n/p \rfloor + \lfloor n/p^2 \rfloor + \cdots)\ge n\left(j - \frac 1{p-1}\right)$ 的。而 $j=1$ 的时候，我们在 $<p^e$ 的项的影响有 $n<p$，显然满足。否则 $\ge n \ge 1$。 对于更加一般的情况，我还没有很好的想法，而且我们还有很多东西不知道是否能派上用场：比如 [Witt 向量](https://en.wikipedia.org/wiki/Witt_vector)（其中有的部分和我们形式相近？）、[Artin-Hasse 指数](https://en.wikipedia.org/wiki/Artin–Hasse_exponential)……小模数问题还有很多未知。