n元代数（不等式）问题

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本文介绍 n 元不等式的基本处理步骤与方法

代数思想最基本的是：齐次思想，对称思想，局部思想

一、结构性质

齐次式：可以任意设定一个值以简化原式，常用的有关于 x_i 的轮换对称式， f(x_1) ， f(x_1,x_2)

对于非齐次轮换对称式，也应考虑设一个值为 t 进行处理

轮换对称：可以确定最大值或最小值

对称：可以设序

平移不变性

二、基本尝试

首先可以考虑猜出取等，通常而言取等有全相等，一个或两个非0其余全为0，可分成两部分全相等的数

其次可以考虑二元或三元的基本情况，并可以考虑数学归纳法，局部不等式等方法

三、正式解题

首先处理特殊符号：

1、绝对值 最优方案是通过设序消去

2、最值 设序，或直接证明对全体成立

其次应当考虑：

1、对于 f(a_i,a_j) 尤其是 f(a_i,a_{i+c})，考察其代数结构

2、是否可以独立一部分变量，将其拆分为几部分子问题

3、代数变形（齐次化，消元），是否与经典模型如阿贝尔变换等相关

4、根据取等选择适当的局部与放缩

实际上有不少的问题难以以上述方法解决（比如需要加强命题，或是近几年联赛常考的组合类代数），但是作为基本功是应当掌握的

下面主要介绍一些变形与放缩方法

局部放缩

例1

非负实数 a_1,a_2,...a_{100} 满足 a_i+a_{i+1}+a_{i+2}\leq1 ，其中 a_{101}=a_1,a_{102}=a_2 ，求 \sum\limits_{i=1}^{100} a_ia_{i+2} 的最大值

本题的式子没有任何良好的性质

先猜出取等 a_{2i}=\frac{1}{2},a_{2i+1}=0 ，这题取等卡得很紧（ \frac{100}{9} 与 \frac{100}{8} 没多大差异)，0 就不能随意处理了

这个条件启发我们局部处理，实际上

不妨 a_3\geq a_4 ，有

\begin{aligned} a_3(a_1+a_5)+a_4(a_2+a_6) &\leq a_3(1-a_2-a_3+a_5)+a_4(a_2+1-a_4-a_5)\\ &=a_3-a_3^2+a_4-a_4^2+(a_3-a_4)(a_5-a_1)\\ &\leq a_3-a_3^2+a_4-a_4^2+(a_3-a_4)(1-a_3-a_4)\\ &\leq 2(a_3-a_3^2)\leq \frac{1}{2} \end{aligned}

例2

$\sum\limits_{i< j} \frac{a_ia_j}{a_i+a_j}\leq \frac{n}{2(a_1+a_2+...+a_n)} \sum\limits_{i<j} a_ia_j

三元情况实际上就是舒尔不等式（的变形）

当然，应当采用适当的代数变形，使得该局部不等式能够应用到全局

\sum\frac{xy}{x+y}(x+y+z)\leq \frac{3}{2}\sum xy \sum\limits_{i<j}

代数结构

例1

求最大的 \lambda 使得对于任意 n\geq 2 ，有 \sum_{i=1}^n\frac{x_{i-1}^2+x_i^2}{x_{i-1}-x_i}\geq \lambda \sum_{i=1}^n(2i+3)x_i

2\frac{x_{i-1}^2+x_i^2}{x_{i-1}-x_i}=\frac{(x_{i-1}+x_i)^2}{x_{i-1}-x_i}+(x_{i-1}-x_i)

这里可以考虑基本不等式，待定系数： \frac{(x_{i-1}+x_i)^2}{x_{i-1}-x_i}+f^2(i)(x_{i-1}-x_i)\geq 2f(i)(x_{i-1}+x_i)

\frac{(x_{i-1}+x_i)^2}{x_{i-1}-x_i}\geq (2f(i)-f^2(i))x_{i-1}+(2f(i)+f^2(i))x_i 2f(i)+f^2(i)+2f(i+1)-f^2(i+1)=2i+3

解得 f(i)=i+1

例2

已知 x_1,x_2,...,x_{60} 满足 x_i\in [-1,1] ，求 \sum x_i(x_{i-1}^2-x_{i+1}^2) 的最大值

\sum x_i(x_{i-1}^2-x_{i+1}^2)=\sum x_ix_{i+1}(x_i-x_{i+1})=\sum\frac{(x_i-x_{i+1})^3-(x_i^3+x_{i+1}^3)}{3}

先猜测取等为 0,-1,1 的循环

那么可以知道，x_i-x_{i-1}=1,-2

f(a)=(a-1)(a+2)(a+p)$ 没有二次项，解得 $f(a)=a^3-3a-2

由当 a\in[-2,2] 时， a^3\leq 3a+2 ，指上述情况即为最值

这是一种基本的题型，考察 x 的一次项（条件）与三次项的关系。更多此类题目：传送门

抽屉原理

例1

柯西不等式无法取等，考虑拉格朗日恒等式 $(\sum ka_k^2)(\sum k)-(\sum ka_k)^2=\sum ij(a_i-a_j)^2$ ，即尽可能取相等 对于 $a_i\in Z$ 考虑 $(a_i-36)(a_i-37)\geq 0$ ， 有 $\sum ka_k^2-73\sum ka_k+\sum36\times 37\geq 0$ ，即 $\sum ka_k^2\geq 73\times 2023-36\times 37\times 55

例2

给定正偶数 n ，实数 x_1,x_2,...,x_n,y_1,...,y_n\in[1,2] ，\sum x_i^3=\sum y_i^3 ，求 \frac{\sum\frac{x_i^4}{y_i}}{\sum x_i^3} 的最大值

(x_i-2y_i)(y_i-2x_i)(x_i^2+ax_iy_i+by_i^2)\geq 0 2x_i^4+(2a-5)x_i^3y_i+(2b+2-5a)x_i^2y_i^2+(2a-5b)x_iy_i^3+2by_i^4\leq 0 2\frac{x_i^4}{y_i}+(2a-5)x_i^3+(2b+2-5a)x_i^2y_i+(2a-5b)x_iy_i^2+2by_i^3\leq 0

令 2b+2-5a=0,2a-5b=0

2\frac{x_i^4}{y_i}\leq \frac{85}{21}x_i^3-\frac{8}{21}y_i^3