ZJOI2020 场外游记【大雾】

VenusM1nT · 2020-06-20 14:53:25 · 个人记录

whk 真好玩。

Day 1

上午讲了一下 SC 的数预卷，倒数第二题差一点就推出来了，结果因为代换写的太丑导致柯西柯出来比题目要求的少了一半，zbl
群友全部去 ZJOI 了，留我一个沙雕下午逃信息课出来划水，好不快乐。
看了一下 ZJOI，果然是独立命题，也不知道谁出的。
明天数预了，希望别滚得太惨，希望圆锥曲线简单点。
就这样吧。

Day 2

晚上玩到三点，第二天七点被拉起来到学校，本以为大家都会紧张刺激地讨论起题目，结果开始用教室的一体机水起了知乎，不亦乐乎。
水了一会儿就到了八点半，赶紧去考场，进去一看前后左右都不是我记得的人，吓得我赶紧看了一眼名单，结果发现我是 3111 跑到 3311 考场去了，尴尬。跑到正确考场结果位置被人占了，然后是那位兄弟座位号 15 坐到 5 去了。
不管，直接开题，第一眼看到最后一道：

1. 设 \{a_m\},\{b_n\} 为实数列，证明： \sum_{m,n=1}^{2020}\frac{a_mb_n}{(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2}\leq2(\sum_{m=1}^{2020}a_m^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{n=1}^{2020}b_n^2)^{\frac{1}{2}}

一愣，这 TM 的不就是柯西吗……
但是柯西咋证来着……
想着写个“由 \textbf{Cauchy} 不等式得证”骗点分数，结果到最后忘记写了，尴尬。

不管了，开始正向开题。

1. 设 r 为方程 x^3-x+3=0 的解，则以 r^2 为其解的首项系数为 1 的整系数一元三次方程为___.

水题，直接把 x^3=x-3 代到设的式子里，因为整系数而且首项系数为 1 这两个条件非常优秀，所以直接就可以把方程解出来。
烦的是一开始笔误写成了 x^3=x+3，结果推出来一个分数，好在发现的快。

1. 已知 f(a)=\min_{x\in[a,a+1]}\{x^2-2x-1\}
  ，则 f(a) 在 [-1,1] 上的最大值为__.

水题，画个图直接秒杀。

1. 某竹竿长为 24 米，一端靠在墙上，另一端落在地面上。若竹竿上某一节点到墙的垂直距离和到地面的垂直距离都是 7 米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为___ 米或 ____米。

良心题，都告诉你有多解了【大雾】。
可以看做一个 7\times 7 的正方形靠着墙放然后放竹竿，一开始把竹竿设成了 x 和 24-x 两段，结果求出来一个根本不能算的东西，于是把两个端点到正方形边界的距离设成 x 和 y，用等面积法意外地搞出了能算的东西，最后搞对了。

1. 设 x\in\mathbb{R}，则 y=\frac{\sin x}{2-\cos x} 的最大值为___.

老师两天前刚和我讲过 \frac{\sin x-2}{\cos x} 直接求导，那这题也直接求导就可以了，秒杀。

1. 在四面体 P-ABC 中，棱 PA,AB,AC 两两垂直，且 PA=AB=AC，E,F 分别为线段 AB,PC 的中点，则直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为__.

没想到今年出了这么清新的立体几何，前几年的都是什么鬼东西……建系秒掉。

1. 设平面上不共线的三个单位向量 \vec{a},\vec{b},\vec{c}，满足 \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0，若 0\leq t\leq 1，则 |-2\vec{a}+t\vec{b}+(1-t)\vec{c}| 的取值范围为___.

本来以为是个难题，仔细一看三个单位向量，那不就是个等边三角形吗……建系秒掉。

1. 设 z 为复数，且 |z|=1，当 |1+z+3z^2+z^3+z^4| 取得最小值时，则此时复数 z= __ ，或 ___ .

良心题，可惜做不来，本来想设三角的，结果太烦了就没算，后来经数竞之光一提醒发现可以化成 |\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+3+z+z^2|，然后好像就可以求了。

1. 已知由 6 个正整数组成的六位十进制数中，其个位上的数字是 4 的倍数，十位和百位上的数字都是 3 的倍数，且六位数的数码和为 21，则满足上述条件的六位数个数为___.

数位 \textbf{DP} 啊，这个我熟.jpg
然后没看见正整数，GG。

1. 一个正整数若能写成 20a+8b+27c（a,b,c 为非负整数）形式，则称它为“好数”，则集合 \{1,2,...,200\} 中好数的个数为___.

要是给我一个 C++，这题我将绝杀.jpg

1. 设 i_1,i_2,...,i_n 是集合 \{1,2,...,n\} 的一个排列，如果存在 k<l 且 i_k>i_l，则称数对 (i_k,i_l) 为一个逆序，排列中所有逆序对数的数目称为此排列的逆序数。比如，排列 1432 的逆序为 43,42,32，此排列的逆序数就是 3。则当 n=6 时，且 i_3=4 的所有排列的逆序数的和为___.

要是给我一个 C++，这题我将绝杀.jpg
不过情况数也才 5!=120 种，有时间也可以手算。

下面题目太长了，不手打了【累】

水题，T1 直接猜 + 数归秒掉，T2 直接裂项 + 求导也秒了，就是粗心左边忘记开根号了，烦。

不会圆锥曲线.jpg

太难不会.jpg

和答案对不上诶……（

15 的柯西不会（

最终战绩，填空题 6 道，解答题不知道多少，不过比自己预期的好很多了，奇怪的是很多神仙的填空题对的没我多，即使是我们班数竞之光对的也跟我一样多……可能是因为我是伪 MO 选手，做的时候比较轻松，也无暇去想难题。至于后面，那都随缘。
说回 ZJOI 这事，和我比较熟的人可能只有 1、2 个进队的（也可能一个也没有，但我不希望这样），尤其是 Sooke，省选前我还调侃他“竞赛一路走到死”，但要是进不了队，不死也得去半条命了。
衷心希望各位，进队的 NOI 加油，没进队的如果还有机会，明年加油；没机会了的话，就祝高考好运。反正不论怎样，金子总会发光的。
谢谢大家。