ZJOI2020 场外游记【大雾】

whk 真好玩。 # Day 1 上午讲了一下 SC 的数预卷，倒数第二题差一点就推出来了，结果因为代换写的太丑导致柯西柯出来比题目要求的少了一半，zbl 群友全部去 ZJOI 了，留我一个沙雕下午逃信息课出来划水，好不快乐。 看了一下 ZJOI，果然是独立命题，也不知道谁出的。 明天数预了，希望别滚得太惨，希望圆锥曲线简单点。 就这样吧。 # Day 2 晚上玩到三点，第二天七点被拉起来到学校，本以为大家都会紧张刺激地讨论起题目，结果开始用教室的一体机水起了知乎，不亦乐乎。 水了一会儿就到了八点半，赶紧去考场，进去一看前后左右都不是我记得的人，吓得我赶紧看了一眼名单，结果发现我是 3111 跑到 3311 考场去了，尴尬。跑到正确考场结果位置被人占了，然后是那位兄弟座位号 15 坐到 5 去了。 不管，直接开题，第一眼看到最后一道： - 15. 设 $\{a_m\},\{b_n\}$ 为实数列，证明： $$\sum_{m,n=1}^{2020}\frac{a_mb_n}{(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2}\leq2(\sum_{m=1}^{2020}a_m^2)^{\frac{1}{2}}(\sum_{n=1}^{2020}b_n^2)^{\frac{1}{2}}$$ 一愣，这 TM 的不就是柯西吗…… 但是柯西咋证来着…… 想着写个“由 $\textbf{Cauchy}$ 不等式得证”骗点分数，结果到最后忘记写了，尴尬。 不管了，开始正向开题。 - 1. 设 $r$ 为方程 $x^3-x+3=0$ 的解，则以 $r^2$ 为其解的首项系数为 $1$ 的整系数一元三次方程为_______. 水题，直接把 $x^3=x-3$ 代到设的式子里，因为整系数而且首项系数为 $1$ 这两个条件非常优秀，所以直接就可以把方程解出来。 烦的是一开始笔误写成了 $x^3=x+3$，结果推出来一个分数，好在发现的快。 - 2. 已知 $$f(a)=\min_{x\in[a,a+1]}\{x^2-2x-1\}$$ ，则 $f(a)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值为______. 水题，画个图直接秒杀。 - 3. 某竹竿长为 $24$ 米，一端靠在墙上，另一端落在地面上。若竹竿上某一节点到墙的垂直距离和到地面的垂直距离都是 $7$ 米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为_______ 米或 ________米。 良心题，都告诉你有多解了【大雾】。 可以看做一个 $7\times 7$ 的正方形靠着墙放然后放竹竿，一开始把竹竿设成了 $x$ 和 $24-x$ 两段，结果求出来一个根本不能算的东西，于是把两个端点到正方形边界的距离设成 $x$ 和 $y$，用等面积法意外地搞出了能算的东西，最后搞对了。 - 4. 设 $x\in\mathbb{R}$，则 $y=\frac{\sin x}{2-\cos x}$ 的最大值为_______. 老师两天前刚和我讲过 $\frac{\sin x-2}{\cos x}$ 直接求导，那这题也直接求导就可以了，秒杀。 - 5. 在四面体 $P-ABC$ 中，棱 $PA,AB,AC$ 两两垂直，且 $PA=AB=AC$，$E,F$ 分别为线段 $AB,PC$ 的中点，则直线 $EF$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值为______. 没想到今年出了这么清新的立体几何，前几年的都是什么鬼东西……建系秒掉。 - 6. 设平面上不共线的三个单位向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$，满足 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$，若 $0\leq t\leq 1$，则 $|-2\vec{a}+t\vec{b}+(1-t)\vec{c}|$ 的取值范围为_______. 本来以为是个难题，仔细一看三个单位向量，那不就是个等边三角形吗……建系秒掉。 - 7. 设 $z$ 为复数，且 $|z|=1$，当 $|1+z+3z^2+z^3+z^4|$ 取得最小值时，则此时复数 $z=$ ______ ，或 _______ . 良心题，可惜做不来，本来想设三角的，结果太烦了就没算，后来经数竞之光一提醒发现可以化成 $|\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+3+z+z^2|$，然后好像就可以求了。 - 8. 已知由 $6$ 个正整数组成的六位十进制数中，其个位上的数字是 $4$ 的倍数，十位和百位上的数字都是 $3$ 的倍数，且六位数的数码和为 $21$，则满足上述条件的六位数个数为_______. 数位 $\textbf{DP}$ 啊，这个我熟.jpg 然后没看见正整数，GG。 - 9. 一个正整数若能写成 $20a+8b+27c$（$a,b,c$ 为非负整数）形式，则称它为“好数”，则集合 $\{1,2,...,200\}$ 中好数的个数为_______. 要是给我一个 C++，这题我将绝杀.jpg - 10. 设 $i_1,i_2,...,i_n$ 是集合 $\{1,2,...,n\}$ 的一个排列，如果存在 $k<l$ 且 $i_k>i_l$，则称数对 $(i_k,i_l)$ 为一个逆序，排列中所有逆序对数的数目称为此排列的逆序数。比如，排列 $1432$ 的逆序为 $43,42,32$，此排列的逆序数就是 $3$。则当 $n=6$ 时，且 $i_3=4$ 的所有排列的逆序数的和为_______. 要是给我一个 C++，这题我将绝杀.jpg 不过情况数也才 $5!=120$ 种，有时间也可以手算。 下面题目太长了，不手打了【累】  水题，T1 直接猜 + 数归秒掉，T2 直接裂项 + 求导也秒了，就是粗心左边忘记开根号了，烦。  不会圆锥曲线.jpg  太难不会.jpg  和答案对不上诶……（ 15 的柯西不会（ 最终战绩，填空题 6 道，解答题不知道多少，不过比自己预期的好很多了，奇怪的是很多神仙的填空题对的没我多，即使是我们班数竞之光对的也跟我一样多……可能是因为我是伪 MO 选手，做的时候比较轻松，也无暇去想难题。至于后面，那都随缘。 说回 ZJOI 这事，和我比较熟的人可能只有 1、2 个进队的（也可能一个也没有，但我不希望这样），尤其是 Sooke，省选前我还调侃他“竞赛一路走到死”，但要是进不了队，不死也得去半条命了。 衷心希望各位，进队的 NOI 加油，没进队的如果还有机会，明年加油；没机会了的话，就祝高考好运。反正不论怎样，金子总会发光的。 谢谢大家。