概率与期望学习笔记

· · 算法·理论

连续型概率

e.g. 在 [0,1] 之间随机选一个 x \in R，一般 P(x=C)=0，C \in [0,1] 是常数。

离散型概率

e.g. 在袋中有 n 个白球和 m 个红球，P(\text{摸到红球})=\dfrac{m}{n+m}，这叫做古典概型，一般当做计数题做。

期望

期望 = 均值。

e.g 有一随机变量 x 表示摸到红球的个数，E(x)=\sum P(x=i) \times i。

简单例子：若 n=m，则 E(x)=\dfrac{1}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{1}{2}。

E(x)=\sum P(x=i) \times i

期望的性质

线性性（可加性）：E(x+y)=E(x)+E(y)。

证明：

由 E(x)=\sum P(x=i) \times i 得

\begin{aligned} E(x+y)&=\sum \sum P(x=i,y=j) \times (i+j)\\ &=\sum \sum P(x=i,y=j) \times i +\sum \sum P(x=i,y=j) \times j\\ &=\sum P(x=i) \times i+\sum P(y=j) \times j \\ &= E(x)+E(y) \end{aligned}

多元随机变量

e.g. 在袋中有 2 个蓝球、3 个白球和 4 个红球，x 为摸 3 次的红球个数，y 为摸 3 次的红球个数，求 P(x=2,y=1)。

解：P(x=2,y=1)=\dfrac{C_3^2 \times C_4^1 \times C_3^1}{C_9^3}。

条件概率

e.g. 求 P(AB)，也就是 A,B 同时发生的概率。

考虑先让 A 发生再让 B 发生，那么 P(AB)=P(A|B) \times P(B)，P(A|B) 表示 B 发生后 A 发生的概率。