解析函数与幂级数理论 (3)

Gorenstein · 2025-12-05 14:31:37 · 算法·理论

• 柯西积分定理的一般形式
• 解析函数
  • 解析性，Taylor 展开
  • 柯西估计，Liouville 定理，代数基本定理
  • 零点和唯一性
  • 对数和开根
  • 开映射定理，双全纯映射，局部标准型
  • 最大模原理
• Laurent 级数

柯西积分定理的一般形式

定义 5.1 (链, 圈) \quad 设开集 U\subset\mathbb C ， \mathcal R 是 U 上所有可求长曲线构成的集合，记 C_0(U):=\mathbb Z^{\oplus U},C_1(U):=\mathbb Z^{\oplus\mathcal R} ，简记为 C_0,C_1 。一个 1-链指一个形式和 \gamma=\sum_{j=1}^na_j\gamma_j\in C_1 。记 \operatorname{im}(\gamma):=\bigcup_1^n\operatorname{im}(\gamma_j) 。对于任意 f\in C(\operatorname{im}(\gamma)) ，定义

记 \iota:U\to C_0 为典范包含映射。定义

其中 \gamma_j:[\alpha_j,\beta_j]\to\mathbb C 。 \ker(\partial) 中的元素称作闭链 (圈)。对于一个圈 \gamma 和 z\notin\operatorname{im}(\gamma) ，定义

定义 5.2 \quad 设 U\subset\mathbb C 为开集， \gamma\in C_1(U) 为一个闭链。称 \gamma 在 U 中同调于 0 ，如果 \forall z\in\mathbb C\setminus U ， n(\gamma,z)=0 。

下文不妨就设闭链 \gamma 是一系列闭曲线的形式和。

引理 5.3 \quad 设 U\subset\mathbb C 是单连通开集，则 U 上的任意圈同调于 0 。

证明 \quad 每个 \gamma_j 同伦于单点，且同伦保持卷绕数不变。 \square

定理 5.4 (柯西积分定理的一般形式) \quad 设 U\subset\mathbb C 为开集， \gamma 为 U 上同调于 0 的闭链。设 f 是 U 上的全纯函数。则

证明 \quad 首先设 U 是有界的。对任意 \delta>0 ，取 n\in\mathbb Z 使 2^{-n}<\delta ，考虑复平面上边长为 2^{-n} 的闭方体族 \mathcal Q_n 。设 \{Q_j\}_{j\in J}\subset\mathcal Q_n 为那些全包含在 U 中的闭方体，由于 U 有界，它确实是有限集。取充分小的 \delta 使得 \{Q_j\} 非空。考虑闭链

令

设 \gamma 是 U 上同调于 0 的闭链。取充分小的 \delta 使得 \operatorname{im}(\gamma)\subset U_n 。设 \xi\in U\setminus U_n ，则存在 Q\in\mathcal Q\setminus\{Q_j\} 使得 \xi\in Q 且 Q\notin U 。取 \xi_0\in Q\setminus U 。由于 \gamma 同调于 0 ， n(\gamma,\xi_0)=0 。我们可以用一条直线 L\subset Q 将 \xi 与 \xi_0 相连，使得 L\cap U_{n}=\varnothing ，此时 L\subset\mathbb C\setminus\operatorname{im}(\gamma) ，这说明 \xi_0,\xi 在 \mathbb C\setminus\operatorname{im}(\gamma) 的一个相同连通分支中。由于卷绕数关于点是连续的，有 n(\gamma,\xi)=n(\gamma,\xi_0)=0 。由于 \Gamma_n'\subset U\setminus U_n ，对任意 \xi\in\Gamma_n' ， n(\gamma,\xi)=0 。

设 z\in V_n ，则存在唯一 j_0\in J 使得 z\in Q_{j_0} 。由矩形上的柯西积分公式，我们有

容易看出沿 \Gamma_{n} 的积分与沿 \Gamma_n' 的积分总是相等的，于是

以上等式在 V_n 上成立。由于等式两端皆连续，上式对所有 z\in U_n 成立。特别地，我们有

由于 \Gamma_n'\cap\gamma=\varnothing ，被积项关于两个变元都连续，故

若 U 无界，则取充分大的 R 使得 \operatorname{im}(\gamma)\subset D(0,R) 并令 U':=U\cap D(0,R) 即可。 \square

推论 5.5 \quad 设 U\subset\mathbb C 为单连通的开集， \gamma 为 U 中一个闭链， f 为 U 上的全纯函数。则

定理 5.6 (柯西积分公式的一般形式) \quad 设 U\subset\mathbb C 为开集， \gamma 为 U 上同调于 0 的闭链。设 f 是 U 上的全纯函数， a\in U\setminus\operatorname{im}(\gamma) 。则

证明 \quad 令

则 g 在 U 上全纯，故 \int_{\gamma}g\,dz=0 。于是

解析函数

解析性, Taylor 展开

定理 6.1 \quad 令 \gamma 为 \mathbb C 中一条可求长曲线，\phi:\operatorname{im}(\gamma)\to\mathbb C 为连续函数。对于 z\in\mathbb C\setminus\operatorname{im}(\gamma) ，定义

则对任意 z_0\in\mathbb C\setminus\operatorname{im}(\gamma) ，令 r:=\operatorname{dist}(z_0,\operatorname{im}(\gamma)) ，f 在 B(z_0,r) 中可展开为幂级数

证明 \quad 取 w\in\operatorname{im}(\gamma) ，注意到

因而对于 \left|\frac{z-z_0}{w-z_0}\right|\leq 1 ，特别地对 z\in B(z_0,r) 有

令 g_n(w):=\sum_0^{n}\phi(w)(w-z_0)^{-j-1}(z-z_0)^j ，我们将证明 g_n\to\phi(w)/(w-z) 在 \operatorname{im}(\gamma) 上一致。事实上，令 M:=\|\phi\|_u 和 r':=|z-z_0|<r ，则

故 \|g_n-\phi/(w-z)\|_u\to 0 ，这就证明了一致收敛性。于是

推论 6.2 (Taylor 展开) \quad 设 D:=D(z_0,r)\subset C 为圆盘，f:\overline D\to\mathbb C 全纯，则 f 等于一个 D 上的幂级数，特别地有

由定理 6.1 和柯西积分公式对比 Taylor 级数的系数也能得到导数公式

并且这个方法比我们在第四节中使用的方法来得简便。

定理 6.3 (Morera) \quad 设 U\subset\mathbb C 为开集，f:U\to\mathbb C 连续。如果对任意 U 中的可求长闭曲线都有 \int_{\gamma}f\,dz=0 ，则 f 全纯。

证明 \quad 条件表明 f\,dz 是恰当的。 \square

定理 6.4 \quad 设 U\subset\mathbb C 为开集，\{f_n\} 为 U 上一列全纯函数，且在 U 的每个紧集上 f_n 一致收敛到 f 。则 f 也是 U 上的全纯函数。

证明 \quad 对任意 \overline D\subset U ，对 z\in D 有 f_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f_n(w)}{w-z}\,dw ，令 n\to\infty 得 f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}\,dw 。由定理 6.1，f 在 D 上全纯。因而 f 在整个 U 上全纯。 \square

柯西估计, Liouville 定理, 代数基本定理

定理 6.5 (Cauchy's estimate) \quad 令 D:=B(z_0,r)\subset\mathbb C 为圆盘，f:\overline{D}\to\mathbb C 全纯。令 M:=\max_{z\in\partial D}|f(z)| 。则

证明 \quad

定理 6.6 (Liouville) \quad 设 f:\mathbb C\to\mathbb C 是有界的全纯函数，则 f 是常值函数。

证明 \quad 设 |f|\leq M ，令 z_0\in\mathbb C ，对任意 R\in\mathbb R 在 B(z_0,R) 上应用柯西估计得 |f'(z_0)|\leq MR^{-n} ，由于 R 是任取的，f'(z_0)=0 ，故 f'\equiv 0 。从而 f 是常值函数。 \square

定义 6.7 \quad 如果函数 f 在整个复平面上全纯，则称 f 是整函数。

推论 6.8 \quad 如果整函数 f 的实部或虚部是有界的，则 f 是常数。

证明 \quad 设 f=u+iv 。不妨设 u 是有界的。考虑 g:=\exp(f) ，有 |g|=|e^u| 。由于 u 有界，g 亦然，故由刘维尔定理得 g=\exp(f) 是常数，于是 f 是常数。 \square

定理 6.9 (代数基本定理) \quad \mathbb C 是代数闭域：设 f\in\mathbb C[X] ，\deg f\geq 1 。则 f 在 \mathbb C 中至少有一根。

证明 \quad 假设 f 在 \mathbb C 中没有根，则 1/f 在整个 \mathbb C 上全纯。由于 \deg\geq 1 ，在 |z|\to\infty 时 |f|\to\infty ，从而 1/f\to 0 ，故 1/f 有界。由 Liouville 定理，1/f 为常值，故 f 亦然，这与 \deg f\geq 1 矛盾。故 f 在 \mathbb C 中至少有一根。 \square

零点和唯一性

引理 6.10 \quad 设 U\subset\mathbb C 是连通开集，f 是 U 上的全纯函数，z_0\in U 。设对任意 n\geq 1 ，f^{(n)}(z_0)=0 。则在 U 上 f\equiv f(z_0) 。

证明 \quad 记

由于 z_0\in V ，V 非空。显然 V 是闭的。设 z\in V ，则存在 \overline{D(z,\epsilon)}\subset U 使得 f 在 \overline{D(z,\epsilon)} 上全纯，于是 f 在 D 上可展开为幂级数且各非零次项系数皆为零，于是 f 在 D 上恒为 f(z_0) ，故在 D 上 f 各阶导数皆为零，于是 D\subset V 。这表明 V 为开。由于 U 连通，V=U 。 \square

引理 6.11 \quad 全纯函数的零点是孤立的：设 U\subset\mathbb C 为连通开集，f 为 U 上非常值的全纯函数，z_0\in U ，则存在 r>0 使得 z_0 是 f-f(z_0) 在 D(z_0,r) 中的唯一零点。

证明 \quad 由引理 6.10，存在 r_0>0 和 m\in\mathbb N_{\geq 1} 使得在 D':=D(z_0,r_0) 上

则在 D' 上 f-f(z_0)=(z-z_0)^mg(z) ，其中全纯函数 g 满足 g(z_0)=a_m\geq 0 。由于 g 连续，存在 0<r<r_0 使得在 D:=D(z_0,r) 上 g(z)\neq 0 。于是 z_0 是 D 上 f-f(z_0) 的唯一零点。 \square

推论 6.12 \quad 设 U\subset\mathbb C 是连通开集，f,g 是 U 上的全纯函数。如果存在一列点 \{z_n\} 使得 z_n\to z\in U 且 f(z_j)=g(z_j),\quad\forall j\in\mathbb N ，则在 U 上 f\equiv g 。

证明 \quad 由连续性知 f(z_0)=g(z_0) ，然后运用引理 6.11。 \square

对数和开根

定理 6.13 (对数) \quad 设 U\subset\mathbb C 为单连通的开集，f 为 U 上的全纯函数，逐点 f\neq 0 。则存在 U 上的全纯函数使得 e^g=f 。

证明 \quad f'/f 在 U 上全纯。对于 a\in U ，取 \alpha\in\mathbb C 使得 e^{\alpha}=f(a) 。对任意 z\in U ，令 \gamma 是一条连接 a 和 z 的可求长曲线，定义

则 g 的定义与 \gamma 的选取无关，故 g 全纯且 g'=f'/f 。令 h:=\exp(-g)f ，则 h(a)=1 。进一步

于是 h\equiv 1 。是故在 U 上 e^g=f 。 \square

定理 6.14 (开根) \quad 设 U\subset\mathbb C 为单连通的开集，f 为 U 上的全纯函数，逐点 f\neq 0 。则存在 U 上的全纯函数使得 g^n=f 。

证明 \quad 存在全纯函数 h 使得 e^h=f 。令 g:=e^{h/n} ，则 g^n=f 。 \square

开映射定理, 双全纯映射, 局部标准型

定义 6.15 (双全纯函数) \quad 设 U,V 是 \mathbb C 的两个开集，全纯函数 f:U\to V 称作双全纯函数，如果 f 是双射且 f^{-1}V\to U 全纯。

由反函数定理，如果 f:U\to\mathbb C 是全纯函数，z_0\in U ，且 f'(z_0)\neq 0 ，则 f 在 z_0 局部是双全纯的。

定理 6.16 (全纯函数的局部标准型) \quad 设 f 在开集 U\subset\mathbb C 上全纯，z_0\in U ，f^{(m)}(z_0)\neq 0 且 \forall j\leq m-1,\,f^{(j)}(z_0)=0 。则存在 D:=D(z_0,r)\subset U 和 D 上的双全纯函数 h 使得在 D 上 f-f(z_0)=h^m 。

证明 \quad 在局部 D':=D'(z_0,r) 上我们可写 f-f(z_0)=(z-z_0)^mg(z) ，其中 g 全纯，g(z_0)=a_m\neq 0 。设 \tilde h 是 D' 上满足 \tilde h^m=g 的全纯函数，h:=(z-z_0)\tilde h ，则 h 在 D' 上全纯且 f-f(z_0)=h^m 。注意到 h'(z_0)=\tilde h(z_0)\neq 0 ，于是由反函数定理，存在 D\subset D' 使得 h 在 D 上双全纯。 \square

引理 6.17 \quad g_m(z):\mathbb C\to\mathbb C\,,z\mapsto z^m 是真且开的映射；进一步，如果 z\neq 0 ，则 g_m^{-1}(z) 恰包含 m 个点。

证明 \quad 容易看出 g_m(z) 是真映射。设 z=re^{i\theta} ，考虑方程 w^n=z 。设 w=\rho e^{i\psi} ，则 \rho^m=r ，m\psi=\theta+2k\pi 。其中实数 \rho=r^{1/m} 是唯一的，而 \phi 在模 2\pi 意义下共有 m 个解。这就证明了 g_m^{-1}(z) 有 m 个点。 \square

定理 6.18 (开映射定理) \quad 设 f 是连通开集 U\subset\mathbb C 上非常值全纯函数，则 f 是开映射。

证明 \quad 只需证明对任意 z_0\in U ，存在 r>0 使得对任意 r'<r ，D'=D(z_0,r') ，f(D') 为开。事实上，由定理 6.14，存在 m\geq 1 ，双全纯函数 h 和圆盘 D=:D(z_0,r) 使得在 D 上 f-f(z_0)=h^m 。由引理 6.15 知 z\mapsto z^m 是开的，因而这样的 D 即为所求。 \square

定理 6.19 \quad 设 f 是 \mathbb U 上的全纯函数。如果 f 是单的，那么 f:U\to f(U) 是双全纯函数。

证明 \quad 只需对 U 的每个连通分支证明命题。下面不妨设 U 是连通的。f(U) 是开集。\forall z_0\in U ，f'(z_0)\neq 0 ，否则由定理 6.14，f 在 z_0 周围至少是 m\,(m\geq 2) 对一的，于是由反函数定理，f^{-1} 在 f(z_0) 局部是全纯的。由于 z_0 是任意的，f 双全纯。 \square

最大模原理

定理 6.20 (最大模原理) \quad 设 U\subset\mathbb C 是连通开集，f 是 U 上的非常值全纯函数。则不存在 z_0\in U 使得 |f(z_0)|=\sup_{z\in U}|f(z)| 。

证明 \quad 这是因为 f(U) 是开集。 \square

在最大模原理中对任意 z_0\in U 考虑邻域 U'\subset U ，进一步可知 f 在任何 z_0\in U 都取不到局部极大值。同理，我们有对偶的“最小模原理”。

命题 6.21 \quad 设 U\subset\mathbb C 是连通开集，f 是 U 上的非常值全纯函数，逐点 f\neq 0 。则不存在 z_0\in U 使得 |f(z_0)|=\inf_{z\in U}|f(z)| 。

推论 6.22 \quad 设 U\subset\mathbb C 是有界连通开集，f 是 \overline U 上的非常值全纯函数。则 |f| 在 \overline U 上的最大值在 \partial U 上取到。如果进一步 f 逐点非零，则 |f| 在 \partial U 上取到最小值。

Laurent 级数

设 z_0\in\mathbb C 。以 z_0 为中心的 Laurent 级数是以下形式的级数：

其中 a_n,b_n\in\mathbb C 。 \sum_1^{\infty}b_n(z-z_0)^{-n} 称作主要部分， \sum_0^{\infty}a_n(z-z_0)^n 称作正则部分。

设 f:=\sum_{n=1}^{\infty}b_n(z-z_0)^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n ， R 为其正则部分的收敛半径。对于主要部分，也可以定义“发散半径” r 。事实上，设 S:=\sum_0^{\infty}b_jz^j ，考虑 S 的收敛半径 R' ，则主要部分收敛当且仅当 S\big((z-z_0)^{-1}\big) 收敛。因而如果 |(z-z_0)^{-1}|>R' 即 |z-z_0|<1/R' ，则主要部分不收敛，反之，如果 |z-z_0|>1/R' ，则主要部分收敛。因而可以置 r=1/R' 。定义开圆盘

则 f 在 D(z_0,r,R) 上内闭一致收敛。由于每个部分和都是全纯的， f 在 D(z_0,r,R) 全纯。

引理 7.1 \quad 设 g 是 D(z_0,r,R) 上的全纯函数， r<r_1<r_2<R 。则

证明 \quad 令 \gamma:=\partial D(z_0,r_1)-\partial D(z_0,r_2) 。由于 \partial D(z_0,r_j) 同伦， \gamma 在 D(z_0,r,R) 中同调于 0 ，故由柯西积分定理的一般形式得 \int_{\gamma}g\,dz=0 ，这就证明了引理。 \square

定理 7.2 \quad 设 f=\sum_{-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n 为在 D(z_0,r,R) 上收敛的 Laurent 级数， r<\rho<R 。则

证明 \quad 由一致收敛性知

如果 k\neq n 则 a_k(w-z_0)^{k-n-1} 是恰当的，积分为零。故

定理 7.3 (Laurent 展开) \quad 设 f 是 D(z_0,r,R) 上的全纯函数，则 f 可被表示为以 z_0 为中心的 D(z_0,r,R) 上的 Laurent 级数。

证明 \quad 由定理 7.2 知 Laurent 级数的系数若存在则是唯一的。只需证明 f 在每个 D(z_0,r',R'),\,r<r'<R'<R 上能被展开为 Laurent 级数即可。对每个 z\in D(z_0,r',R') ， n(\partial D(z_0,R')-\partial D(z_0,r'),z)\equiv 1 。于是由柯西积分定理的一般形式得

对固定的 z\in D(z_0,r',R') ，考虑级数

它对于 w\in D(z_0,R') 收敛，于是

对固定的 z\in D(z_0,r',R') ，考虑级数

它对于 w\in D(z_0,r') 收敛，于是

综合以上两个部分即证明命题。 \square

由定理 7.2 和定理 7.3 可知，若 f 在 D(z_0,r,R) 上全纯，则 f 可展开为