设切点$(x_0,y_0)$
$y_0=\cos x_0$
$g(x)=\cos x$ 导数 $g'(x)=-\sin x$
则$k=-\sin x_0$
解析式为$y=-\sin x_0 \times x+x_0\sin x_0+\cos x_0$
仅需满足$x_0\sin x_0+\cos x_0=0$既可
这里提一下，相切并不代表只有一个交点，相切是一种极限，和交点个数无关
by Belarus @ 2020-02-24 09:51:56
@[Mr_Wu](/user/62308) 相当于就是说我们只需要找到一个点 $P(x_0,\cos x_0)$ 满足这个点的切线过原点即可。
注意到，$f(x)=\cos x$，其导数为 $-\sin x$，所以我们可以将其切线方程列出来，也即
$$l:y=-(\sin x_0)x+\cos x_0+x_0\sin x_0$$
将 $x=0,y=0$ 代入得到
$$0=\cos x_0+x_0\sin x_0$$
也即
$$x_0=-\cot x_0$$
注意到这个是有解的，所以存在。
by Karry5307 @ 2020-02-24 09:51:59
@[Mr_Wu](/user/62308) 有理数貌似不太可能。。。吧
by WYXkk @ 2020-02-24 09:53:26
等等，有理数的话好像不行
by Belarus @ 2020-02-24 09:54:03
@[Karry5307](/user/60990) 这个我大概是知道的，所以我想问的是 $x_0=-\cot x_0$ 的情况下 $\sin x_0$ 是否可能有理呢。。
直觉上不太可能，如何证明。。
by Mr_Wu @ 2020-02-24 09:54:26
@[Karry5307](/user/60990) orz Akrry
by Mr_Wu @ 2020-02-24 09:54:55
@[Mr_Wu](/user/62308) 当然，这个是在实数域上存在，第一个正的解是 $x_0\approx 2.798$ 的时候，此时切线方程近似于
$$y=-0.336x$$
但是注意到 $x=-\cot x$ 在有理数域上无解，所以在有理数域上不存在。
by Karry5307 @ 2020-02-24 09:55:40
@[Karry5307](/user/60990) 但是 $k=-\sin x_0$ 啊，那 $\sin x_0$ 是不是有理数呢
by FZzzz @ 2020-02-24 09:59:27
@[Karry5307](/user/60990) Orz，但我的知识不能够证明 $x=-\cot x$ 在有理数域上无解，您能够给我相关资料以供学习吗。。
by Mr_Wu @ 2020-02-24 09:59:40
@[Mr_Wu](/user/62308) 如果存在 $x_0=-\cot x_0$ 那么
$$x_0=-\frac{\sqrt{1-\sin x_0}}{\sin x_0}$$
也即
$$x_0^2(\sin x_0)^2=1-\sin x_0$$
整理得到
$$x_0^2(\sin x_0)^2+\sin x_0-1=0$$
其中
$$\Delta=1+4x_0^2$$
注意到 $x_0$ 非有理数，所以 $\Delta$ 也非有理数，更不可能是平方数
by Karry5307 @ 2020-02-24 10:00:15