简 单 数 学 题
by huayucaiji @ 2020-07-05 21:10:00
帮我解决的聚聚将获得两个关注
by hanzhongtlx @ 2020-07-05 21:16:39
简 单 数 学 题
by 血色黄昏 @ 2020-07-05 21:21:35
我用 bf 检验了一下，应该是对的
证明等我想一下……
by EndSaH @ 2020-07-05 21:32:43
bf : brute force -> 暴力
by s_r_f @ 2020-07-05 21:37:41
这个式子感觉可以往组合意义上靠？
by s_r_f @ 2020-07-05 21:37:59
大佬萌帮我啊
by hanzhongtlx @ 2020-07-05 21:38:58
万分感谢
by hanzhongtlx @ 2020-07-05 21:39:08
$$
\begin{aligned}
k! &= \sum _{i = 0} ^k (-1) ^i {k \choose i} (m - i) ^k \\
&= \sum _{j = 0} ^k S2(k, j) j! \sum _{i = 0} ^k {m - i \choose j} (-1) ^i {k \choose i}
\end{aligned}
$$
直接观察后面 $i$ 的部分
$$
\begin{aligned}
& \sum _{i = 0} ^k {m - i \choose j} (-1) ^i {k \choose i} \\
=& [x ^j] \sum _{i = 0} ^k (1 + x)^{m-i} (-1) ^i {k \choose i} \\
=& [x ^j] (1+x)^{m-k}\sum _{i = 0} ^k (1 + x)^{k-i} (-1) ^i {k \choose i} \\
=& [x ^j] (1+x)^{m-k} x^k
\end{aligned}
$$
有一个 $x ^k$，所以当 $j < k$ 时这个式子都是 $0$，$j = k$ 时为 $1$，于是证毕
by EndSaH @ 2020-07-05 21:45:41
@[hanzhongtlx](/user/184500) 公式挂了……
by EndSaH @ 2020-07-05 21:45:58