@[Krimson](/user/206998) 我怀疑可以去除质数这个条件
by WYXkk @ 2021-05-05 11:37:02
@[WYXkk](/user/130151) 确实，好像去掉质数这也是对的，应该是因为整除分块中小于 $\sqrt{n}$ 部分的答案是连续的
by Krimson @ 2021-05-05 11:39:57
$ \left\lfloor \dfrac{n}{x} \right\rfloor=p$等价于$p \le \dfrac nx < p+1$，即$ \dfrac n{p+1} < x \le \dfrac np$。
如果我们要求有整数$x$，则我们需要$\dfrac np - \dfrac n{p+1} \ge 1$，也就是$p(p+1)\le n$。
这样好像只能证明$p \le \sqrt{n+\dfrac14}-\dfrac12$时的情况$ qwq $
by esquigybcu @ 2021-05-05 13:54:43
但是 $\sqrt{n+\frac 14}-\frac 12 \ge \sqrt{n}-\frac 12$，也就是如果有$p$不满足$p(p+1)\le n$，但$ p\le \sqrt n$，那一定有$ p=\left\lfloor \sqrt n \right\rfloor $。只需证明$p=\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor$时即可。
由$ \sqrt{n}-\frac12 \le p$，有$n \le (p+\frac12)^2=p^2+p+\frac14$。对于足够大的$n$，我们**不难**得出$p < \frac n{p+1} < p+1$，即$\left\lfloor \frac n{p+1} \right\rfloor = p$。
于是就证完了$qwq$
顺便%%%%%%WYXkk
by esquigybcu @ 2021-05-05 14:01:10
当 $m\ge \sqrt n$ 时，
则 $\lfloor \dfrac n m \rfloor \ge \sqrt n$
即 $\lfloor \dfrac n m \rfloor$ 构成一个从区间 $[\sqrt n,n]$ 到 $[1,\sqrt n]$ 的满射（即对于任意的 $n \ge m \ge \sqrt n$ 都有一个 $1 \le x \le n$ 满足 $\lfloor \dfrac n m \rfloor = x$）。
而因为区间 $[\sqrt n,n]$ 的大小大于区间 $[1,\sqrt n]$ 的大小，
所以对于任意的 $\lfloor \dfrac n m \rfloor = x$ 都至少有一个 $n \ge m \ge \sqrt n$ 满足 $\lfloor \dfrac n m \rfloor =x$
证毕
by SunsetSamsara @ 2021-05-05 14:04:25
by Anita_Hailey @ 2021-05-05 14:34:59